Quesito2

Se la funzione \( f(x) − f(2x) \) ha derivata \( 5 in x = 1 \) e derivata \( 7 in x = 2 \), qual è la derivata di \( f(x) − f(4x) \) in \(x = 1\) ?

Soluzione

Posto \( F(x) = f(x) − f(2x) \) e \( G(x) = f(x) − f(4x) \), le rispettive derivate sono, per il teorema della derivata della funzione composta:
\[ F \prime (x) = f\prime(x) – f\prime(2x) · D(2x) = f\prime(x) − 2 · f\prime(2x) \]

\[G\prime(x) = f\prime(x) – f\prime(4x) · D(4x) = f\prime(x) − 4 · f\prime(4x)\].
Imponendo le condizioni del quesito ovvero \( F'(1) = 5 \) ed \( F'(2) = 7 \) si ottengono le espressioni:
\[
\begin{cases}
f\prime(1) − 2 · f\prime(2) = 5 \\
f\prime(2) − 2 · f\prime(4) = 7 \\
\end{cases}
\]

Risolviamo il sistema eliminando la dipendenza di \( f\prime(2) \)
\[
\begin{cases}
f\prime(1) − 2 f\prime(2) = 5 \\
2 f\prime(2) – 4 f\prime(4) = 14 \\
\end{cases}
\]

Sommiamo i due membri in colonna e otteniamo
\[ [f\prime(1) − 2f\prime(2)] + [2f\prime( (2) − 4f\prime( (4)] = 5 + 14 \]
Ma, eliminati i termini opposti, a primo membro compare \( G\prime(1) \) e risulta
G!(1) = f!(1) − 4f!(4) = 19.
\[G\prime(x) = f\prime(x) − 4 · f\prime(4x) \Longrightarrow G\prime(1) = f\prime(1) − 4f\prime(4) = 19 \].