Testo

La funzione \( f \) è definita da
\[ f(x) = \int_0^x \left[ cos\left(\frac{t}{2}\right) + \frac{1}{2}\right] dt \]
per tutti i numeri reali \( x \) appartenenti all’intervallo chiuso [0, 9].
1. Si calcolino \( f'(\pi) \) e \( f'(2\pi) \) ove \( f? \) indica la derivata di \( f \).
2. Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico \( \Sigma \) di \( f'(x) \) e da esso si deduca per quale o quali valori di \( x \), \( f(x) \) presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l’andamento di \( f(x) \) deducendolo da quello di \( f'(x) \).
3. Si trovi il valor medio di \( f'(x) \) sull’intervallo [0, 2].
4. Sia R la regione del piano delimitata da \( \Sigma \) e dall’asse \( x \) per \( 0 \leq x \leq 4 \); R è la base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all’asse \( x \) hanno, per ciascun \( x \), area \( A(x) = 3 sen\left(\frac{\pi}{4}x\right) \). Si calcoli il volume di W.

Soluzione

1. La funzione assegnata rientra nella classe delle funzioni integrali in quanto rappresentata da un integrale definito con la variabile presente negli estremi di integrazione. La funzione integranda \( g(x)=cos\left(\frac{x}{2}\right) +\frac{1}{2} \) è manifestamente continua nell’intervallo [0, 9] per cui la funzione integrale assegnata esiste. Inoltre sappiamo che, per il teorema di Torricelli–Barrow, risulta
\[ f'(x)=D|{f(x)}|=g(x) \]
Per cui i valori richiesti si trovano facilmente sostituendo le \( x \) richieste in \( g(x) \): \( f'(\pi)=\frac{1}{2} \); \( f'(2\pi) \)=-1/2 \)

2. Il grafico di \( f'(x) \) si può dedurre da funzioni elementari e dallo studio di funzioni del tipo \( y = A cos(ax) + b \). La periodicità della funzione \( cos(\frac{x}{2}) \) è pari a \( T = 4\pi \). Il grafico di \( f'(x) \) si ottiene inoltre traslando il grafico di \( cos(\frac{x}{2}) \) del vettore \( v(0,\frac{1}{2}) \).
Per quanto riguarda lo studio del segno, si ha che \( f'(x)\geq 0 \) se \( cos(\frac{x}{2}) \geq -\frac{1}{2} \), da cui si deduce che
\[ 0 \leq x \leq \frac{4}{3}\pi \vee \frac{8}{3}\pi \leq x \leq 9 \]
ricordando che la funzione è definita in \left[0, 9\right]. Agli estremi dell’intervallo la funzione assume i valori \( f'(0)=\frac{3}{2} \) e \( f'(9) \sim 0,29 \) come è riportato in fig.1.

Il grafico di \( f(x) \) può essere dedotto da quello di \( f'(x) \) facendo alcune osservazioni:
(a) E’ possibile valutare il valore di \( f(x) \) agli estremi dell’intervallo semplicemente sostituendo \( x=0 \) e \( x=9 \) come estremo superiore di integrazione.
(b) Dalla positività della funzione \( f'(x) \) si ricava la monotonia di \( f(x) \), quindi \( f(x) \) è monotona crescente in \( 0 \leq x \leq \frac{4}{3}\pi \vee \frac{8}{3}\pi \leq x \leq 9 \), mentre è decrescente in \( \frac{4}{3}\pi < x < \frac{8}{3}\pi \). Il punto \( x=\frac{4}{3}\pi \) è quindi un punto di massimo relativo, mentre \( x=\frac{8}{3}\pi \) di minimo relativo. (c) La concavità di \( f(x) \) si può invece dedurre dalla derivata seconda \[ f''(x) = -\frac{1}{2}sen\left(\frac{x}{2}\right) \] \( f''(x) \) è positiva per \( sen\left(\frac{x}{2}\right) \leq 0 \), che ha come soluzioni nell'intervallo di definizione \( \left[0, 9\right] \) \[ 2\pi \leq x \leq 9 \] Nel punto di cambio concavità \( x=2\pi ) la funzione \( f(x) \) presenta un flesso obliquo.Con queste informazioni è possibile tracciare il grafico della funzione \( f(x) \) come mostrato in fig.2

3. Il valore medio della funzione \( f?(x) \) sull’intervallo \left[0, 2\pi right] si ottiene integrando come segue
\[ \bar{f’} = \frac{1}{2\pi-1} \int_0^{2\pi} \left[ cos\left(\frac{t}{2}\right) + \frac{1}{2}\right] dt \]
E’ possibile separare il contributo del coseno e della costante all’integrale e quindi calcolare a parte l’integrale indefinito di \( cos\left(\frac{t}{2}\right) \)
\[ \int cos\left(\frac{t}{2}\right) dt \]
Sostituendo \( w=t/2 \), si ottiene \( dw = dt/2 \) e quindi, tornando all’integrale definito completo
\[ \bar{f’} = \frac{1}{2\pi} |{2sen(\frac{t}{2})+\frac{t}{2}}_0^{2\pi}|=\frac{1}{2} \]

4. Ripreso il grafico \( \Sigma \) di \( f?(x) \) nell’intervallo \( \left[0, 4\right] \) (fig.3) la regione R base del solido W è evidenziata in giallo. Il volume del solido W è dato dall’integrale della sua area \( A(x) \) nell’intervallo richiesto. Quindi
\[ V(W) = \int_0^4 A(x) dx = \int_0^4 3 sen\left(\frac{\pi}{4}x\right) dx \]
Procedendo ad una sostituzione (come fatto nel punto 3.) del tipo \( \frac{\pi}{4}x=t \) è facile dedurre che
\[ V(W) = \frac{12}{\pi} \int_0^4 sen(t) dt = -\frac{12}{\pi} |{cos(\frac{4}{\pi})}_0^4| \]
Da una semplice sostituzione, si ottiene che \( V(W) = \frac{24}{\pi} \).