Testo Sia \( f \) la funzione definita, per tutti gli \( x \) reali, da \[ f(x) = \frac{8}{4+x^2} \] 1. Si studi \( f \) e se ne disegni il grafico \( \Phi \) in un sistema di coordinate cartesiane Oxy. Si scrivano le equazioni delle tangenti a \( \Phi \) nei punti […]

Testo Si considerino, nel piano cartesiano, i punti \(A(2;-1)\) e \(B(-6;-8)\). Si determini l’ equazione della retta passante per B e avente distanza massima da A. Soluzione Costruito il fascio di rette per il punto \(B(-6,-8)\) (fig. 1) dato dall’ equazione \[ r: y – y_B = m(x – x_B) \quad \Rightarrow \quad y + […]

Testo Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l’ altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume V del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito. Soluzione Il volume richiesto si può considerare come differenza dei volumi di due […]

Testo In un libro si legge: “Due valigie della stessa forma sembrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco per le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano ben conto che ad un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del 10% (oppure del 20% o del 25%) corrispondono […]

Testo Un foglio rettangolare, di dimensioni a e b, ha area 1 \(\mbox{m}^2\) e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono le misure di a e b? Soluzione Se a e b sono le dimensioni del foglio rettangolare (fig. 1) con […]

Testo La funzione f ha il grafico in figura. Se \(g(x) = \int_{0}^{x} f(t) \ \mbox{d}t\), per quale valore positivo di x, g ha un minimo? Si illustri il ragionamento seguito. Soluzione la funzione g appare come la funzione integrale di f. Per il teorema di Torricelli-Barrow sappiamo che \(g'(x) = f(x)\) per cui, volendo […]

Testo Se la figura a lato rappresenta il grafico di \(f(x)\), quale dei seguenti potrebbe essere il grafico di \(f'(x)\)? Si giustifichi la risposta. Soluzione Il grafico della \(f(x)\), mostra una funzione dispari, monot\`{o}na crescente in \([-\infty,-2] \ \cup \ [2,+\infty]\), decrescente in [-2, 2], con un massimo relativo in \(x = -2\) e un […]

Testo Si calcoli \[ \lim_{x \rightarrow 0} 4 \ \frac{\sin x \cos x – \sin x}{x^2}. \] Soluzione Il limite proposto è manifestamente un caso di indeterminazione del tipo \(0/0\) per cui dovrà essere risolto riscrivendo la funzione ad argomento in forme alternative oppure analizzare, eventualmente, l’ applicabilità del teorema di De L’H\^{o}pital. Seguendo la […]

Testo Si calcoli il dominio della funzione \[ f(x) = \sqrt{1-\sqrt{2-\sqrt{3-x}}}. \] Soluzione Le condizioni che determinano il dominio dell’ equazione si riassumono nel sistema di disequazioni: \[ \begin{cases} 3-x \geq 0 2-\sqrt{3-x} \geq 0 1-\sqrt{2-\sqrt{3-x}} \geq 0 . \end{cases} \] La prima possiede le soluzioni \(x \leq 3\) mentre la seconda comporta i passaggi […]

Testo Un triangolo ha area 3 e due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta. Soluzione Se poniamo \(\beta\) l’angolo in rosso in fig.1, l’ area \(\mathcal{A}\) del triangolo è espressa come \(\frac{1}{2}\overline{AB} \cdot \overline{BC} \ \sin\beta\). Sostituendo in valori noti \(\sin\beta=1\), e quindi \(\beta=\frac{\pi}{2}\). […]