Testo
Si calcoli
\[
\lim_{x \rightarrow 0} 4 \ \frac{\sin x \cos x – \sin x}{x^2}.
\]
Soluzione
Il limite proposto è manifestamente un caso di indeterminazione del tipo \(0/0\) per cui dovrà essere risolto riscrivendo la funzione ad argomento in forme alternative oppure analizzare, eventualmente, l’ applicabilità del teorema di De L’H\^{o}pital.
Seguendo la prima ipotesi, possiamo riscrivere la funzione come prodotto di tre fattori
\[
\lim_{x \rightarrow 0} 4 \ \cdot \ (-\sin x) \ \cdot \ \frac{1-\cos x}{x^2}
\]
e tale forma mette in luce la necessità di studiare separatamente i limiti di ciascun fattore. Per quanto riguarda il secondo fattore possiamo sfruttare la continuità della funzione seno per cui il limite è
\[
\lim_{x \rightarrow 0}(-\sin x)= 0.
\]
Essendo il limite del secondo fattore uguale a 0, la soluzione dell’intero limite proposto sarà uguale a zero.
Nel caso si volesse risolvere il limite del terzo fattore, si pu\`{o} procedere moltiplicando numeratore e denominatore per \(1 + \cos x\) e tenendo presente che \(1 – \cos^2 x = sen^2 x\), pu\`{o}, in tal modo il limite pu\`{o} essere riscritto come
\[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\cos x}.
\]
Ora, ricordando il limite fondamentale
\[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1
\]
risulta
\[
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin^2 x}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2=1^2=1.
\]
mentre la continuità in \(x = 0\) per la funzione \(f(x) = 1/(1 + \cos x)\), fornisce
\[
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{1+\cos x}= f(0)= \frac{1}{2}.
\]
Quindi
\[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} \cdot \frac{1}{1+\cos x}= 1 \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
\]
e di conseguenza il limite assegnato assume il valore
\[
\lim_{x \rightarrow 0}4 \cdot (-\sin x) \cdot \frac{1-\cos x}{x^2}=4 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2}=0.
\]
In alternativa, la soluzione del limite del terzo fattore si pu\`{o} ottenere osservando l’ applicabilità
del teorema di De L’H\^{o}pital. Difatti esiste il limite del rapporto delle derivate
\[
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{D(1-\cos x)}{D(x^2)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{2x}= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{\sin x}{x}\right)=\frac{1}{2}\cdot 1= \frac{1}{2}
\]