Testo

Se la figura a lato rappresenta il grafico di \(f(x)\),

quale dei seguenti potrebbe essere il grafico di \(f'(x)\)? Si giustifichi la risposta.

Soluzione

Il grafico della \(f(x)\), mostra una funzione dispari, monot\`{o}na crescente in \([-\infty,-2] \ \cup \ [2,+\infty]\), decrescente in [-2, 2], con un massimo relativo in \(x = -2\) e un minimo relativo proprio in \(x = 2\).
Ne segue che il segno della sua derivata prima deve essere

\[
f'(x) > 0 \quad x\in[-\infty,2] \cup\ [2,+\infty]
\]
\[
f'(x) < 0 \quad x\in[-2,2] \] \[ f'(-2) = f'(2) = 0. \]Esclusi i casi C) e D) dove la derivata prima non si annulla in \(x = \pm 2, f'(\pm 2) \neq 0\), rimangono possibili le opzioni A) e B). Ma in quest' ultimo caso il grafico della \(f'(x)\) mostra segni opposti a quelli richiesti: la risposta corretta è quindi rappresentata dall' opzione A).