Testo

La funzione f ha il grafico in figura. Se \(g(x) = \int_{0}^{x} f(t) \ \mbox{d}t\), per quale valore positivo di x, g ha un minimo? Si illustri il ragionamento seguito.

Soluzione

la funzione g appare come la funzione integrale di f. Per il teorema di Torricelli-Barrow sappiamo che \(g'(x) = f(x)\) per cui, volendo individuare eventuali punti di minimo di g osserviamo che, in base al grafico di f,

\[
g'(x) \geq 0 \quad \mbox{per} \quad 0 \leq x \leq 2 \ \veebar \ x \geq 4.
\]

Riportando tale segno in forma grafica riconosciamo facilmente gli intervalli di monotonia della funzione g e appare evidente come questa funzione presenti nel punto di ascissa 4 un minimo.