Testo

Un foglio rettangolare, di dimensioni a e b, ha area 1 \(\mbox{m}^2\) e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono le misure di a e b?

Soluzione

Se a e b sono le dimensioni del foglio rettangolare (fig. 1) con \(a > 0, b > 0 \quad \mbox{e} \quad
b > a\), la condizione sull’ area si riporta evidentemente come \(a \ \cdot \ b = 1 \ \mbox{m}^2\).

Detto r il rapporto tra lato maggiore e minore \(r = \frac{b}{a} \) questo deve rimanere tale anche quando il foglio viene diviso a metà. Poichè le due parti che si ottengono hanno dimensioni a per il lato maggiore e \(\frac{b}{2}\) per quello minore (fig. 1), la condizione che i rettangoli siano simili a quello di partenza si traduce nella costanza
del rapporto

\[
r=\frac{b}{a}=\frac{a}{(b/2)}.
\]

associando le due equazioni in un sistema si ha

\[
\begin{cases}
a \cdot b= 1
\frac{b}{a}=\frac{2a}{b}
0 < a < b. \end{cases} \]Moltiplicando entrambi i membri della seconda equazione per ab questa si può riscrivere come \(b^2 = 2a^2\) che risulta equivalente alla \(|b| = |a|\sqrt{2}\). Data la positività di a e b la precedente si riduce a \(b = a\sqrt{2}a\) che, sostituita nella prima equazione del sistema fornisce\[ a\left(\sqrt{2}a\right)=1 \quad \Rightarrow \quad a=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}. \]Infine deduciamo l' altra dimensione\[ b=a\sqrt{2}=2^{1/4}=\sqrt[4]{2} \]