Testo

Si calcoli il dominio della funzione

\[
f(x) = \sqrt{1-\sqrt{2-\sqrt{3-x}}}.
\]

Soluzione

Le condizioni che determinano il dominio dell’ equazione si riassumono nel sistema di disequazioni:

\[
\begin{cases}
3-x \geq 0
2-\sqrt{3-x} \geq 0
1-\sqrt{2-\sqrt{3-x}} \geq 0 .
\end{cases}
\]

La prima possiede le soluzioni \(x \leq 3\) mentre la seconda comporta i passaggi

\[
2 \geq \sqrt{3-x} \quad \Rightarrow \quad 4 \geq 3-x \quad \Rightarrow \quad x \geq -1.
\]

la terza è equivalente a

\[
1 \geq \sqrt{2-\sqrt{3-x}} \quad \Rightarrow \quad 1 \geq 2-\sqrt{3-x} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3-x} \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \leq 2.
\]

L’ intersezione di questi tre insiemi è riportata graficamente nella fig. 1 e mostra che il dominio di \textit{f} è l’ intervallo
chiuso [-1, 2].