Quesito9

Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta.

Soluzione
Per confrontare il numero di elementi compresi in due insiemi si ricorre alla definizione di cardinalità o potenza che formalizza e generalizza l’operazione del contare il numero degli elementi contenuti in un insieme. In particolare due insiemi A e B hanno la medesima cardinalità, e in tal caso si dicono equipotenti, se è possibile definire una funzione biunivoca che associ ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. Se invece la \( card(B) > card(A) \) vuol dire che è possibile definire una funzione iniettiva da A in B ma non esiste invece una analoga funzione iniettiva di B in A. Se ora consideriamo l’insieme dei numeri naturali N e l’insieme dei numeri razionali Q, entrambi contenenti infiniti elementi, è stato dimostrato da Cantor che la loro cadinalità è la medesima cioè
\[ card(\mathbb{Q}) = card(\mathbb{N}) = \aleph_0 \]
D’altra parte G. Cantor nel 1874, tramite la tecnica dimostrativa del “secondo metodo diagonale”, ha dimostrato che l’insieme dei numeri reali R ha cardinalità maggiore del numerabile \[ card(\mathbb{R}) > card(\mathbb{Q}) \] Ossia
R ha la cardinalità del continuo.
Infine se I rappresenta l’insieme dei numeri irrazionali, R si può rappresentare come l’insieme unione R U Q.

Ma poiché Q è numerabile discende che I deve avere cardinalità maggiore del numerabile altrimenti dovrebbe essere \[ card(\mathbb{R}) = card(\mathbb{Q}) \] Pertanto possiamo concludere che sono più numerosi i numeri irrazionali di quelli razionali e conseguentemente l’affermazione corretta, seppure qualitativa nel caso di insiemi infiniti, è di Luisa.