Testo

In un libro si legge: “Due valigie della stessa forma sembrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco per le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano ben conto che ad un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del 10% (oppure del 20% o del 25%) corrispondono aumenti di capacità (volume) di circa 33% (oppure 75% o 100%: raddoppio). Effettivamente è così? Si motivi esaurientemente la risposta.

Soluzione

Siano a, b, c, le lunghezze dei tre spigoli di una valigia assimilata ad un parallelepipedo
e sia x l’ aumento percentuale di queste dimensioni. Calcoliamo il corrispondente aumento percentuale del volume sapendo che inizialmente il volume è \(\mathcal{V}_0 = a \ \cdot \ b \ \cdot \ c\). Se ciascuna dimensione aumenta di x con \(0 \leq x \leq 100\), la lunghezza di ciascun spigolo diviene

\[
a’=a+a \ \cdot \ \frac{x}{100}=a\left(1+ \frac{x}{100}\right); \quad b’=b\left(1+ \frac{x}{100}\right); \quad c’=c\left(1+ \frac{x}{100}\right),
\]

\[
\mathcal{V}=a’\ \cdot \ b’ \ \cdot \ c’ = a\ \cdot \ b \ \cdot \ c \left(1+\frac{x}{100}\right)^3 = \mathcal{V}_0 \left(1+\frac{x}{100}\right)^3
\]

L’ aumento percentuale è

\[
\Delta \mathcal{V} \% = \left(\frac{\mathcal{V}}{\mathcal{V}_0}-1\right)100 \quad \Rightarrow \quad \left[ \left(1+\frac{x}{100}\right)^3 -1\right] \cdot 100
\]
\[
=\left[1+ 3\frac{x}{100} + 3\frac{x^2}{100^2} + \frac{x^3}{100^3} -1 \right]\cdot 100 = 3x+\frac{3x^2}{10^2}+\frac{x^3}{10^4}
\]
\[
\mbox{se} \quad x=10\% \quad \Rightarrow \quad \Delta \mathcal{V} \%=33,1 \%.
\]

Analogamente

\[
\mbox{se} \quad x=20\% \quad \Rightarrow \quad \Delta \mathcal{V} \%=72,8 \%.
\]

\[
\mbox{se} \quad x=25\% \quad \Rightarrow \quad \Delta \mathcal{V} \%=95.3 \%.
\]

La risposta è pertanto affermativa.