Testo
I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm, 6 cm e 5 cm. Preso a caso un punto P all’ interno del triangolo, qual è la probabilità che P disti più di 2 cm da tutti e tre i vertici del triangolo?
Soluzione
La precedente figura è stata costruita partendo dai dati del problema e ponendo quindi: \( \bar{AB} = \bar{AC}= 6 \; cm, \bar{BC}=5 \; cm\) ed il raggio delle tre circonferenze pari a \( r= 2 \; cm \).
Il punto P per aver distanze maggiori di 2 cm da ciascun vertice, deve appartenere alla regione S del triangolo isoscele ABC (in giallo in figura). L’area A di tale regione si ottiene sottraendo dall’area del triangolo isoscele ABC, le aree dei tre settori circolari che chiamiamo \( A_A, A_B e A_C \), dove \( A_B= A_C \) in quanto alla base del triangolo isoscele. L’area A sarà allora calcolata come:
\[ A= \frac{1}{2} \bar{BC} \cdot \bar{AH}-A_A-2A_B \].
Se chiamiamo \( \alpha \) I’angolo al vertice superior, abbiamo che I due angoli di base possono essere scritti come: \( \frac{ \pi -\alpha}{2} \), pertanto l’area del settore individuate dall’angolo \( \alpha \) e dal raggio r sarà:
\[ A_A= \frac{1}{2} \alpha r^2 \; \; e \; \; A_B= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi – \alpha}{2} \right) r^2 \].
Sostituendo questi valori dentro alla formula dell’area otteniamo:
\[ A= \frac{1}{2} \bar{BC} \cdot \bar{AH} – \frac{\pi}{2} r^2 \],
Dove notiamo che non è necessario conoscere l’angolo \alpha.
Dobbiamo però calcolare la misura dell’altezza AH che rimane incognita. Possiamo trovarla grazie al teorema di Pitagora:
\[ \bar{AH} = \sqrt{\bar{AB^2} – \bar{BH^2}} = \sqrt{6^2- \left (\frac{5}{2} \right) ^2} = \frac{\sqrt 119}{2} \; cm \].
Inserendo anche questo dato, l’area A cercata risulta allora pari a: \( A= \left( \frac{5}{4} \sqrt{119} -2 \; \pi \; \right) cm^2 \).
Infine la probabilità p richiesta è data dal seguente rapporto:
\[ p=\frac{casi \; favorevoli}{casi \; possibili} = \frac{A}{A_{triangolo \; isoscele}} = \frac{(\frac{5}{4} \sqrt{119}- 2 \; \pi)}{\frac{5}{4} \sqrt{119}} \approx 0.54 \].