Testo

Data la funzione:
\[ \left\{ \begin{array}{c} x^3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq x \leq1\\x^2-kx+k\ \ \ \ \ 1 < x \leq2 \end{array}\right.\] determinare il parametro k in modo che nell'intervallo [0, 2] sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto di cui la tesi del teorema assicura l’esistenza. Soluzione
Entrambe le equazioni presenti all’interno della funzione f(x) data nel testo risulta, nell’intervallo tra 0 e 2 continua (estremi inclusi) e derivabile (estremi esclusi). Posso allora applicare il teorema di Lagrange e dire e limitare lo studio al punto di confine x=1. Per questo punto devo studiare continuità e derivabilità.

La funzione è continua se:
\[ \lim_{x\to 1-}{f(x)} = \lim_{x\to 1+}{f(x)} = f(1)\] .
Cioè esplicitando:
\[ \lim_{x\to 1-}{x^3} = 1^3 = 1\\ \lim_{x\to 1+}{(x^2-kx+k)} = 1^2-k\cdot1+1 = 1\].
I due limiti coincidono quindi la funzione è continua in x=1, \( \forall k \in \Re\).
Per quanto riguarda la derivabilità, calcolo la derivata prima di entrambi i rami ottenendo:
\[ \left\{ \begin{array}{c} \ 3x^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \leq x \leq1\\2x-k\ \ \ \ 1 < x \leq2 \end{array}\right.\] . Come fatto per la continuità, valuto la derivata prima di f in x=1 ottenendo: \[ \lim_{x\to 1-}{3x^2} = 3 \cdot 1^2 = 3\\ \lim_{x\to 1+}{2 \cdot 1 - k} = 2-k\]. Il limite destro e sinistro sono uguali solo se 3=2-k cioè se k=-1. In alternativa, si poteva anche studiare la derivabilità imponendo l’esistenza e l’unicità del limite del rapporto incrementale di f(x). Il teorema assicura quindi che esista almeno un valore di x nell’intervallo tra 0 e 2 con estremi esclusi, tale che valga: \[ \frac{f(2)-f(0)}{2-0} = f^{'}(x) \].
Se \( 0 \leq x \leq1 \) la condizione diventa: \[ \frac{(4+2-1)-0^3}{2} = 3x^2 \],
mentre se 1 < x \leq2 diventa: \[ \frac{(4+2-1)-0^3}{2} = 2x+1 \].
La prima equazione come risultato ha: \( x= \pm \sqrt{5/6} \) dove solo il risultato col più è accettabile in quanto appartenente all’intervallo tra 0 e 1 (estremi esclusi); la seconda ha come risultato: \( x=3/4 \), che però non appartiene all’intervallo tra 1 e 2 (estremi esclusi) pertanto non è accettabile.