Testo

Il grafico della funzione \( f(x)=\sqrt{x} (x\in\Re, x\geq0) \) divide in due porzioni il rettangolo ABCD avente vertici A (1, 0), B (4, 0), C (4, 2) e D (1, 2). Calcolare il rapporto tra le aree delle due porzioni.
Soluzione

La funzione \( y = f(x) = \sqrt{x} \) per \(x\geq 0\) è rappresentata in un piano cartesiano Oxy da un arco \( \Gamma \) di parabola nel I quadrante (fig. 1).

Il punto C(4, 2) è, non solo un vertice del rettangolo, ma anche un punto di \( \Gamma \).

Il rettangolo di area \( A = \bar{AB} \cdot \bar{BC} = (4 – 1) \cdot 2 = 6 \cdot 1 \) è diviso dal grafico \( \Gamma \) in due regioni R e S.
Per determinarne le rispettive aree è sufficiente calcolare quella del trapezoide R che è data dall’integrale definito
\[ \int_{1}^{4} \sqrt{x} dx = \int_{1}^{4} x^{1/2} dx = \left[ \frac{2}{3}\sqrt{x^3} \right]_1^4 = \frac{14}{3} \].
Per trovare l’area della regione S basta ora fare: S=A-R= 4/3.

Il loro rapporto è R/S= 14/3 : 4/3 = 7/2.