Testo Un test d’esame è composto da dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere l’unica risposta corretta fra quattro alternative. Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risposte risultino corrette? Soluzione Se indico con n il numero di risposte esatte si vuole trovare la probabilità che n […]
Tema svolto relativo alla seconda prova dell’ esame di stato 2011 per il liceo scientifico – indirizzo PNI. Traccia della seconda prova – Scientifico PNI 2011 Problema 1 – Scientifico PNI 2011 (testo e soluzione) Problema 2 – Scientifico PNI 2011 (testo e soluzione) Quesito 1 – Scientifico PNI 2011 (testo e soluzione) Quesito 2 […]
Testo Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da: \[ f\left(x\right)=x^{3}-16x \] \[ g(x)=\sin\frac{\pi}{2}x \] 1. Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i […]
Testo Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e Gamma la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza Lambda passante per C e tangente esternamente a Gamma. 1. Se AP = x, si […]
Testo Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita da: \[ f\left(x\right)=b^{x}\;\left(b>0,b\neq1\right) \] 1. Sia G il grafico di f(x) relativo ad un assegnato valore di b. Si illustri come varia G al variare di b. 2. Sia P un punto di G. La tangente a G in P e […]
Testo Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è: \[ p^{(n)}(x)=n!a_{n} \] dove \[ a_{n} \] è il coefficiente di \[ x^{n} \] Soluzione Questo è il polinomio di grado n: \[ p\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+..a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \] La derivata prima è: \[ p^{‘}\left(x\right)=n\cdot a_{n-1}x^{n-1}+\left(n-1\right)a_{n-1}x^{n-2}+..+a_{2}x+a_{1}=\sum_{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1} \] La derivata seconda è: \[ p^{”}\left(x\right)=n\cdot\left(n-1\right)\cdot […]
Testo Siano: 1) ABC un triangolo rettangolo in A; 2) r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo; 3) P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangoli PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. Soluzione Poichè la retta r è perpendicolare al piano del triangolo nel punto B […]
Testo Sia G il grafico di: \[ f(x)=e^{3x}+1 \] Per quale valore di x la retta tangente a G in (x, f(x)) ha pendenza uguale a 2? Soluzione La pendenza di una retta tangente ad una funzione reale è data dalla derivata prima della funzione stessa: \[ f^{‘}\left(x\right)=3e^{3x} \] Poniamo \[ f^{‘}\left(x\right)=2 \] Otteniamo: \[ […]
Testo Si calcoli: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}4x\sin\frac{1}{x} \] Soluzione Il limite dato porta ad una forma d’indeterminazione: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}4x\sin\frac{1}{x}=\infty\cdot0 \] Riscrivo la funzione nel modo seguente: \[ 4x\sin\frac{1}{x}=4\frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} \] Sostituisco: \[ t=\frac{1}{x}\rightarrow\lim_{t\rightarrow0}4\frac{\sin t}{t}=4\rightarrow\lim_{x\rightarrow\infty}4x\sin\frac{1}{x}=4 \]