E’ data la parabola \[ y=2x^{2}-4x+2 \] e siano A e B i suoi punti di intersezione con gli assi y=0 e x=0. Trovare i punti dell’arco AB di parabola, le cui distanze dagli assi coordinati abbiano somma minima e massima. Soluzione Rappresentazione grafica: Abbiamo che \[ \overline{PK}=x_{P}=x \] \[ \overline{PH}=y_{P}=y \] Sapendo che \[ […]
Calcolare i seguenti integrali: Esercizio 1 \[ \int\frac{dx}{9x^{2}-25} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha delta maggiore di zero, infatti si scompone facilmente in \[ 9x^{2}-25=\left(3x-5\right)\left(3x+5\right) \] Determiniamo ora due coefficienti A […]
Determinare sull’arco di un settore di raggio r un punto per cui sia massima la somma delle distanze dai lati del settore. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=\overline{OP}=r \] \[ A\hat{O}B=\alpha \] \[ A\hat{O}P=x \] Vogliamo sia massima la funzione \[ f=\overline{KP}+\overline{HP} \] Scriviamo KP in funzione di x, sapendo che il […]
Calcolare i seguenti integrali: Esercizio 1 \[ \int\frac{dx}{x^{2}+8x+16} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle=0 \] infatti si scompone facilmente in \[ x^{2}+8x+16=\left(x+4\right)^{2} \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, […]
Il dominio di una funzione è l’insieme su cui la funzione è definita, mentre il codominio è l’insieme dei valori che la funzione può assumere. Formulari sui domini di funzioni: Funzioni elementari e loro domini – Formulario Esercizi svolti sul calcolo dei dominio: Per quanto riguarda il calcolo del dominio, e quindi la determinazione del […]
Qual è l’arco di cerchio per cui è massima la differenza fra la corda e la saetta* dell’arco stesso? * Ricorda che la saetta di un arco di circonferenza è la distanza tra il punto medio dell’arco e il punto medio della corda sottesa. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ […]
Calcolare i seguenti integrali: Esercizio 1 \[ \int\frac{dx}{x^{2}+2x+3} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ […]
Fra tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sopra un dato arco di circonferenza di raggio r, qual è quello per cui è massima la somma dei lati che comprendono l’angolo? Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ A\hat{O}B=\alpha \] \[ A\hat{C}O=x \] \[ B\hat{C}O=y \] Vogliamo sia massima la funzione […]
Calcolare i seguenti integrali: Esercizio 1 \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] Per prima cosa ricaviamo al numeratore la derivata del denominatore: \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}-2x+3}dx \] \[ […]
E’ dato un semicerchio di raggio r: si divide il diametro in due parti su ciascuna delle quali si descrive un semicerchio interno al primo. Si chiede che sia massima la superficie compresa fra le tre circonferenze. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ \overline{OP}=x \] L’area della circonferenza di diametro […]