Determinare un punto P della parabola \[ x^{2}-4y=0 \] per il quale risulta minimo il rapporto \[ \frac{\overline{PO}}{\overline{PF}} \] essendo O il vertice della parabola, e F il fuoco.

Soluzione

Scriviamo la parabola data in forma esplicita: \[ y=\frac{1}{4}x^{2} \] Il vertice ha coordinate \[ O\left(0;0\right) \] Il fuoco ha stessa x del vertice e \[ y_{F}=\frac{1-\triangle}{4a}=\frac{1-0}{1}=1 \] quindi \[ F\left(0;1\right) \] Il punto P generico della parabola ha coordinate \[ P\left(x;\frac{1}{4}x^{2}\right) \] Scriviamo PO in funzione di x: \[ \overline{PO}=\sqrt{\left(y_{p}-0\right)^{2}+\left(x_{P}-0\right)^{2}} \] \[ \overline{PO}=\sqrt{\frac{x^{4}}{16}+x^{2}} \] \[ \overline{PO}=\frac{\sqrt{x^{4}+16x^{2}}}{4} \] Scriviamo PF in funzione di x: \[ \overline{PF}=\sqrt{\left(\frac{1}{4}x^{2}-1\right)^{2}+\left(x-0\right)^{2}} \] \[ \overline{PF}=\sqrt{\frac{x^{4}}{16}+\frac{1}{2}x^{2}+1} \] \[ \overline{PF}=\frac{\sqrt{x^{4}+8x^{2}+16}}{4} \] Il rapporto cercato in funzione di x risulta: \[ f\left(x\right)=\frac{\overline{PO}}{\overline{PF}}=\sqrt{\frac{x^{4}+16x^{2}}{x^{4}+8x^{2}+16}} \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{x^{4}+8x^{2}+16}{x^{4}+16x^{2}}\cdot}\frac{\left(4x^{3}+32x\right)\left(x^{4}+8x^{2}+16\right)-\left(x^{4}+16x^{2}\right)\left(4x^{3}+16x\right)}{\left(x^{4}+8x^{2}+16\right)^{2}} \] Facendo i conti otteniamo \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{x^{4}+8x^{2}+16}{x^{4}+16x^{2}}\cdot}\frac{-16x^{5}+60x^{3}+512x}{\left(x^{4}+8x^{2}+16\right)^{2}} \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow-16x^{5}+60x^{3}+512x\geq0 \] visto che tutti gli altri termini sono positivi. \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow4x\left(4x^{4}-15x^{2}+128\right)\leq0 \] Risolvendo quest’ultima disequazione (calcolo che tralascio) si trovano due massimi, e un minimo per \[ x=0 \] e il punto P cercato coincide col vertice della parabola: \[ P\equiv O \]