E’ data la parabola \[ y=2x^{2}-4x+2 \] e siano A e B i suoi punti di intersezione con gli assi y=0 e x=0. Trovare i punti dell’arco AB di parabola, le cui distanze dagli assi coordinati abbiano somma minima e massima.

Soluzione

Rappresentazione grafica:

Abbiamo che \[ \overline{PK}=x_{P}=x \] \[ \overline{PH}=y_{P}=y \] Sapendo che \[ y=2x^{2}-4x+2 \] otteniamo la somma delle distanze in funzione della sola variabile x: \[ f=\overline{PH}+\overline{PK} \] \[ f\left(x\right)=2x^{2}-4x+2+x \] \[ f\left(x\right)=2x^{2}-3x+2 \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(x\right)=4x-3 \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\geq\frac{3}{4} \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione f(x) è crescente per x maggiore di 3/4, decrescente per x minore di 3/4, ha quindi un minimo per \[ x_{P}=\frac{3}{4}\rightarrow y_{P}=\frac{1}{8} \] e il punto P avrà quindi coordinate \[ P\left(\frac{3}{4};\frac{1}{8}\right) \]