Calcolare i seguenti integrali:

Esercizio 1

\[ \int\frac{x^{2}-6x+4}{x^{2}+2x+4}dx \] Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado. In particolare abbiamo grado 2 al numeratore e grado 2 al denominatore. Possiamo procedere con la divisione tra polinomi: \[ \left(x^{2}-6x+4\right):\left(x^{2}+2x+4\right) \] \[ Q_{1}=x^{2}:x^{2}=1 \] \[ R_{1}=\left(x^{2}-6x+4\right)-Q_{1}\left(x^{2}+2x+4\right) \] \[ R_{1}=\left(x^{2}-6x+4\right)-\left(x^{2}+2x+4\right)=-8x \] Il resto ha grado inferiore al polinomio divisore, quindi: \[ Q=Q_{1}=1 \] \[ R=R_{1}=-8x \] Ricordando che \[ \frac{N\left(x\right)}{D\left(x\right)}=Q\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{D\left(x\right)} \] il nostro integrale si può scrivere come \[ \int\frac{x^{2}-6x+4}{x^{2}+2x+4}dx=\int dx+\int\frac{-8x}{x^{2}+2x+4}dx \] \[ \int\frac{x^{2}-6x+4}{x^{2}+2x+4}dx=x+C_{1}-\int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx \] Risolviamo ora il secondo integrale: \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] Quindi possiamo procedere come segue: \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\int\frac{2x+2-2}{x^{2}+2x+4}dx \] \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\int\frac{2x+2}{x^{2}+2x+4}dx-8\int\frac{1}{x^{2}+2x+4}dx \] \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\ln\left(x^{2}+2x+4\right)-8\int\frac{1}{\left(x+1\right)^{2}+3}dx \] \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\ln\left(x^{2}+2x+4\right)-\frac{8}{3}\int\frac{1}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\ln\left(x^{2}+2x+4\right)-\frac{8}{\sqrt{3}}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{8x}{x^{2}+2x+4}dx=4\ln\left(x^{2}+2x+4\right)-\frac{8}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C_{2} \] L’integrale iniziale diventa: \[ \int\frac{x^{2}-6x+4}{x^{2}+2x+4}dx=x-4\ln\left(x^{2}+2x+4\right)+\frac{8}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C \] Esercizio 2

\[ \int\frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x^{3}-1}dx \] Il numeratore ha grado superiore rispetto al denominatore. In particolare abbiamo grado 4 al numeratore e grado 3 al denominatore. Possiamo procedere con la divisione tra polinomi: \[ \left(x^{4}-3x^{2}-1\right):\left(x^{3}-1\right) \] \[ Q_{1}=x^{4}:x^{3}=x \] \[ R_{1}=\left(x^{4}-3x^{2}-1\right)-Q_{1}\left(x^{3}-1\right) \] \[ R_{1}=\left(x^{4}-3x^{2}-1\right)-x\left(x^{3}-1\right) \] \[ R_{1}=-3x^{2}+x-1 \] Il resto ha grado inferiore rispetto al polinomio divisore, quindi: \[ Q=Q_{1}=x \] \[ R=R_{1}=-3x^{2}+x-1 \] Ricordando che \[ \frac{N\left(x\right)}{D\left(x\right)}=Q\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{D\left(x\right)} \] il nostro integrale si può scrivere come \[ \int\frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x^{3}-1}dx=\int xdx+\int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx \] \[ \int\frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x^{3}-1}dx=\frac{x^{2}}{2}+C_{1}+\int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx \] Per risolvere il secondo integrale \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx \] procediamo come segue: \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\int\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}dx+\int\frac{x-1}{x^{3}-1}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\int\frac{x-1}{\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\int\frac{1}{x^{2}+x+1}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\int\frac{1}{x^{2}+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\int\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\frac{4}{3}\int\frac{1}{\frac{4}{3}\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+C_{2}+\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx=-\ln\left|x^{3}-1\right|+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C_{3} \] Tornando al nostro integrale iniziale: \[ \int\frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x^{3}-1}dx=\frac{x^{2}}{2}+C_{1}+\int\frac{-3x^{2}+x-1}{x^{3}-1}dx \] \[ \int\frac{x^{4}-3x^{2}-1}{x^{3}-1}dx=\frac{x^{2}}{2}-\ln\left|x^{3}-1\right|+\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C \] Esercizio 3

\[ \int\frac{dx}{x^{3}+1} \] Operiamo sulla funzione integranda scomponendo il denominatore \[ \frac{1}{x^{3}+1}=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)} \] e determinando tre coefficienti numerici A, B e C tali che \[ \frac{1}{x^{3}+1}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}-x+1} \] \[ \frac{1}{x^{3}+1}=\frac{Ax^{2}-Ax+A+Bx^{2}+Cx+Bx+C}{x^{3}+1} \] \[ \frac{1}{x^{3}+1}=\frac{\left(A+B\right)x^{2}+\left(-A+B+C\right)x+A+C}{x^{3}+1} \] Otteniamo: \[ \left\{ \begin{array}{c} A+B=0\\ -A+B+C=0\\ A+C=1 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A=\frac{1}{3}\\ B=-\frac{1}{3}\\ C=\frac{2}{3} \end{array}\right. \] Il nostro integrale iniziale diventa \[ \int\frac{dx}{x^{3}+1}= \] \[ =\frac{1}{3}\int\frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{3}\int\frac{x-2}{x^{2}-x+1}dx= \] \[ =\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|+C_{1}-\frac{1}{6}\int\frac{2x-4}{x^{2}-x+1}dx= \] \[ =\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|+C_{1}-\frac{1}{6}\int\frac{2x-1}{x^{2}-x+1}dx+\frac{1}{2}\int\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}}dx= \] \[ =\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|-\frac{1}{6}\ln\left(x^{2}-x+1\right)+C_{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\int\frac{1}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx= \] \[ =\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|-\frac{1}{6}\ln\left(x^{2}-x+1\right)+C_{2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)^{2}+1}dx \] Quindi \[ \int\frac{dx}{x^{3}+1}= \] \[ =\frac{1}{3}\ln\left|x+1\right|-\frac{1}{6}\ln\left(x^{2}-x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C \] Si può anche scrivere: \[ \int\frac{dx}{x^{3}+1}=\frac{1}{6}\ln\frac{\left(x+1\right)^{2}}{x^{2}-x+1}+\frac{\sqrt{3}}{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+C \]