Qual è l’arco di cerchio per cui è massima la differenza fra la corda e la saetta* dell’arco stesso?

* Ricorda che la saetta di un arco di circonferenza è la distanza tra il punto medio dell’arco e il punto medio della corda sottesa.

Soluzione

Rappresentazione grafica:

Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{AO}=\overline{OB}=r \] \[ H\hat{O}B=x \] Vogliamo sia massima la funzione \[ f=\overline{AB}-\overline{HC} \] Scriviamo AB in funzione di x: \[ \overline{AB}=2\overline{HB} \] \[ \overline{AB}=2\overline{OB}\sin x \] \[ \overline{AB}=2r\sin x \] Scriviamo HC in funzione di x: \[ \overline{HC}=\overline{OC}-\overline{OH} \] \[ \overline{HC}=r-\overline{OB}\cos x \] \[ \overline{HC}=r-r\cos x \] \[ \overline{HC}=r\left(1-\cos x\right) \] Ora possiamo scrivere la nostra funzione f con l’unica incognita x: \[ f=\overline{AB}-\overline{HC} \] \[ f\left(x\right)=2r\sin x-r\left(1-\cos x\right) \] \[ f\left(x\right)=r\left(2\sin x+\cos x-1\right) \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(x\right)=r\left(2\cos x-\sin x\right) \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow2\cos x-\sin x\geq0 \] x è compreso tra 0 e 180 gradi, quindi in questo intervallo il suo coseno è positivo: possiamo dividere per cos(x) lasciando invariato il verso della disequazione: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow2-\tan x\geq0 \] \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow\tan x\leq2 \] Otteniamo: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq\arctan2 \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione f(x) è crescente per x minore di arctan2 (circa 63,4 gradi), decrescente per x maggiore di arctan2, ha quindi un massimo per \[ x=\arctan2 \] quindi l’ampiezza dell’arco richiesto vale \[ A\hat{O}B=2H\hat{O}B=2x \] \[ A\hat{O}B=2\arctan2 \]