Sono dati una circonferenza di raggio r e centro O, una corda variabile AB e il diametro CD a essa perpendicolare in H. Calcolare il massimo di AB(CH-HD) con CH>HD. Soluzione Chiamiamo: \[ \overline{OD}=\overline{CO}=r \] \[ \overline{OH}=x \] Scriviamo AB, CH e HD in funzione di x: \[ \overline{AB}=2\overline{AH}=2\sqrt{r^{2}-x^{2}} \] \[ \overline{CH}=\overline{CO}+\overline{OH}=r+x \] \[ \overline{HD}=\overline{OD}-\overline{OH}=r-x […]
Determinare un punto sull’asse delle ascisse per il quale è minima la somma del quadrato della sua distanza dalla retta y=x+1 con il quadrato della sua distanza dalla retta x=4. Soluzione Rappresentazione grafica: Chiamiamo P il punto da determinare, si ha \[ \overline{OP}=x\rightarrow P\left(x;0\right) \] La funzione da determinare è \[ \overline{PA}^{2}+\overline{PH}^{2} \] possiamo scrivere […]
Problemi svolti di massimo e minimo sui triangoli: Massimi e minimi – Problema 1 Massimi e minimi – Problema 2 Massimi e minimi – Problema 3 Massimi e minimi – Problema 4 Massimi e minimi – Problema 5 Massimi e minimi – Problema 6
Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\sin\frac{1}{x} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta all’argomento del seno: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0 \] Visto che il limite della funzione che sta all’argomento del seno tende a 0, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\sin0=0 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\cos e^{x} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta all’argomento del […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, qual è quello in cui è massima l’altezza relativa all’ipotenusa? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa e h l’altezza relativa ad essa. Sapendo che l’area del triangolo è \[ A=\frac{ab}{2} \] ma anche \[ A=\frac{ih}{2} \] allora \[ \frac{ab}{2}=\frac{ih}{2}\rightarrow h=\frac{ab}{i} \] […]
Calcolare i seguenti limiti: Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{x^{2}+3x+6} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta sotto radice: \[ \lim_{x\rightarrow2}\left(x^{2}+3x+6\right)=4+6+6=16 \] Visto che il radicando tende a 16, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow2}\sqrt{x^{2}+3x+6}=\lim_{x\rightarrow2}\sqrt{16}=4 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow1}\sqrt{\frac{x^{2}-1}{x-1}} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta sotto radice: \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\left(x+1\right)=2 \] Visto che il radicando tende a […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi costante la somma dei cateti, qual è quello di minima ipotenusa? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Per il teorema di Pitagora l’ipotenusa vale \[ i=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e s, grazie […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi la medesima ipotenusa di misura i, qual è quello per cui è massima la somma dei cateti? Soluzione Chiamiamo a e b i cateti. Chiamiamo i l’ipotenusa. Poniamo \[ s=a+b \] Questa funzione ha due variabili (a e b), ma possiamo scrivere a in funzione di b e i, grazie […]
Tra tutti triangoli rettangoli aventi la medesima ipotenusa di misura i, qual è quello per cui è massima la somma dell’altezza relativa all’ipotenusa e di un cateto? Soluzione Chiamiamo h l’altezza relativa all’ipotenusa. Chiamiamo a e b i cateti. Poniamo \[ s=h+b \] Questa funzione ha due variabili (h e b), ma possiamo scrivere h […]
Inscrivere in un triangolo, di base b e altezza h, il rettangolo avente la base su b e di area massima. Soluzione Rappresentazione grafica: Vista la figura, chiamiamo: \[ \overline{HF}=\overline{KE}=x \] \[ \overline{KH}=\overline{EF}=y \] \[ \overline{HB}=b \] \[ \overline{AH}=h \] Consideriamo il rettangolo GFED. La sua area vale \[ A_{2}=xy \] Scriviamo y in funzione […]