Calcolare i seguenti integrali: Esercizio 1 \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] Per prima cosa ricaviamo al numeratore la derivata del denominatore: \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}-2x+3}dx \] \[ […]
Esercizi svolti sul calcolo degli integrali indefiniti di funzioni razionali fratte: Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 1 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 2 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 3 (3 esercizi svolti) Integrali di funzioni razionali fratte – Batteria 4 (3 esercizi svolti) […]
Il dominio di una funzione è l’insieme su cui la funzione è definita, mentre il codominio è l’insieme dei valori che la funzione può assumere. Formulari sui domini di funzioni: Funzioni elementari e loro domini – Formulario Esercizi svolti sul calcolo dei dominio: Per quanto riguarda il calcolo del dominio, e quindi la determinazione del […]
Problemi risolti di massimo e minimo di geometria analitica: Massimi e minimi – Problema 19 Massimi e minimi – Problema 20 Massimi e minimi – Problema 21 Massimi e minimi – Problema 22 Massimi e minimi – Problema 23 Massimi e minimi – Problema 24
Calcolare i seguenti integrali: Esercizio 1 \[ \int\frac{x^{2}-6x+4}{x^{2}+2x+4}dx \] Numeratore e denominatore hanno lo stesso grado. In particolare abbiamo grado 2 al numeratore e grado 2 al denominatore. Possiamo procedere con la divisione tra polinomi: \[ \left(x^{2}-6x+4\right):\left(x^{2}+2x+4\right) \] \[ Q_{1}=x^{2}:x^{2}=1 \] \[ R_{1}=\left(x^{2}-6x+4\right)-Q_{1}\left(x^{2}+2x+4\right) \] \[ R_{1}=\left(x^{2}-6x+4\right)-\left(x^{2}+2x+4\right)=-8x \] Il resto ha grado inferiore al polinomio divisore, […]
Determinare un punto P della parabola \[ x^{2}-4y=0 \] per il quale risulta minimo il rapporto \[ \frac{\overline{PO}}{\overline{PF}} \] essendo O il vertice della parabola, e F il fuoco. Soluzione Scriviamo la parabola data in forma esplicita: \[ y=\frac{1}{4}x^{2} \] Il vertice ha coordinate \[ O\left(0;0\right) \] Il fuoco ha stessa x del vertice e […]
Determinare un punto sull’asse delle ascisse per il quale è minima la somma del quadrato della sua distanza dalla retta y=x+1 con il quadrato della sua distanza dalla retta x=4. Soluzione Rappresentazione grafica: Chiamiamo P il punto da determinare, si ha \[ \overline{OP}=x\rightarrow P\left(x;0\right) \] La funzione da determinare è \[ \overline{PA}^{2}+\overline{PH}^{2} \] possiamo scrivere […]
Data la retta di equazione \[ \frac{x}{m}+\frac{y}{m-1}=1 \] determinare m in modo che l’area del quadrato avente per lato il segmento intercettato sulla retta dagli assi sia minima. Soluzione Chiamiamo A e B le intersezioni della retta con gli assi cartesiani, e determiniamone le coordinate in funzione di m: \[ x=0\rightarrow y=m-1\rightarrow A\left(0;m-1\right) \] \[ […]
E’ data la parabola \[ y=2x^{2}-4x+2 \] e siano A e B i suoi punti di intersezione con gli assi y=0 e x=0. Trovare i punti dell’arco AB di parabola, le cui distanze dagli assi coordinati abbiano somma minima e massima. Soluzione Rappresentazione grafica: Abbiamo che \[ \overline{PK}=x_{P}=x \] \[ \overline{PH}=y_{P}=y \] Sapendo che \[ […]
Determinare il punto della parabola \[ 4y+x^{2}=10x-5 \] per il quale è massima la somma delle sue coordinate. Soluzione Scrivendo l’equazione della parabola in forma esplicita otteniamo: \[ y=\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right) \] Il punto generico P della parabola ha coordinate: \[ P\left(x;\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right)\right) \] La somma delle coordinate di P è la nostra funzione di x: \[ f=x_{P}+y_{P} […]