Calcolare i seguenti integrali:

Esercizio 1

\[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] Per prima cosa ricaviamo al numeratore la derivata del denominatore: \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}-2x+3}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2+2}{x^{2}-2x+3}dx \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x-2}{x^{2}-2x+3}dx+\frac{1}{2}\int\frac{2}{x^{2}-2x+3}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-2x+3\right)+C_{1}+\frac{1}{2}\cdot2\int\frac{1}{x^{2}-2x+3}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx=\ln\sqrt{x^{2}-2x+3}+C_{1}+\int\frac{1}{x^{2}-2x+3}dx \] Occupiamoci ora dell’integrale: \[ \int\frac{dx}{x^{2}-2x+3} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ \frac{d\left(\arctan t\right)}{dt}=\frac{1}{t^{2}+1} \] Ricaviamo un quadrato di binomio al denominatore procedendo come segue: \[ \int\frac{dx}{x^{2}-2x+3}=\int\frac{dx}{x^{2}-2x+1+2} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}-2x+3}=\int\frac{dx}{\left(x-1\right)^{2}+2} \] Raccogliamo e portiamo fuori dall’integrale il termine noto al denominatore: \[ \int\frac{dx}{x^{2}-2x+3}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\frac{1}{2}\left(x-1\right)^{2}+1} \] Calcoliamo t portando dentro la potenza il coefficiente di (x-1) al quadrato: \[ \int\frac{dx}{x^{2}-2x+3}=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1} \] Ricaviamo al numeratore la derivata di t \[ \int\frac{dx}{x^{2}-2x+3}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}-2x+3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+1}dx \] e otteniamo quindi: \[ \int\frac{dx}{x^{2}-2x+3}=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right)+C_{2} \] Tornando al nostro integrale iniziale: \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx=\ln\sqrt{x^{2}-2x+3}+C_{1}+\int\frac{1}{x^{2}-2x+3}dx \] \[ \int\frac{x}{x^{2}-2x+3}dx=\ln\sqrt{x^{2}-2x+3}+\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt{2}}\right)+C \] Esercizio 2

\[ \int\frac{2x+5}{x^{2}-4x+5}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] Per prima cosa ricaviamo al numeratore la derivata del denominatore: \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}-4x+5}dx=\int\frac{2x-4+9}{x^{2}-4x+5}dx \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}-4x+5}dx=\int\frac{2x-4}{x^{2}-4x+5}dx+9\int\frac{1}{x^{2}-4x+5}dx \] \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}-4x+5}dx=\ln\left(x^{2}-4x+5\right)+C_{1}+9\int\frac{1}{x^{2}-4x+5}dx \] Occupiamoci ora dell’integrale: \[ \int\frac{dx}{x^{2}-4x+5} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ \frac{d\left(\arctan t\right)}{dt}=\frac{1}{t^{2}+1} \] Ricaviamo un quadrato di binomio al denominatore procedendo come segue: \[ \int\frac{dx}{x^{2}-4x+5}=\int\frac{dx}{x^{2}-4x+4+1} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}-4x+5}=\int\frac{dx}{\left(x-2\right)^{2}+1} \] e otteniamo quindi: \[ \int\frac{dx}{x^{2}-4x+5}=\arctan\left(x-2\right)+C_{2} \] Tornando al nostro integrale iniziale: \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}-4x+5}dx=\ln\left(x^{2}-4x+5\right)+C_{1}+9\int\frac{1}{x^{2}-4x+5}dx \] \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}-4x+5}dx=\ln\left(x^{2}-4x+5\right)+9\arctan\left(x-2\right)+C \] Esercizio 3

\[ \int\frac{2x+5}{x^{2}+3x+5}dx \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado 1 al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] Per prima cosa ricaviamo al numeratore la derivata del denominatore: \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}+3x+5}dx=\int\frac{2x+3+2}{x^{2}+3x+5}dx \] L’integrale iniziale si può ora scrivere, e risolvere, nel seguente modo: \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}+3x+5}dx=\int\frac{2x+3}{x^{2}+3x+5}dx+2\int\frac{1}{x^{2}+3x+5}dx \] \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}+3x+5}dx=\ln\left(x^{2}+3x+5\right)+C_{1}+2\int\frac{1}{x^{2}+3x+5}dx \] Occupiamoci ora dell’integrale: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+3x+5} \] Al denominatore abbiamo un polinomio di grado superiore rispetto a quello del numeratore. In particolare abbiamo grado zero al numeratore e grado 2 al denominatore. Inoltre il denominatore ha \[ \triangle<0 \] e possiamo quindi scrivere la funzione integranda sottoforma di derivata di un arcotangente: \[ \frac{d\left(\arctan t\right)}{dt}=\frac{1}{t^{2}+1} \] Ricaviamo un quadrato di binomio al denominatore procedendo come segue: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+3x+5}=\int\frac{dx}{x^{2}+3x+\frac{9}{4}+\frac{11}{4}} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+3x+5}=\int\frac{dx}{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{11}{4}} \] Raccogliamo e portiamo fuori dall’integrale il termine noto al denominatore: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+3x+5}=\frac{4}{11}\int\frac{dx}{\frac{4}{11}\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+1} \] Calcoliamo t portando dentro la potenza il coefficiente di (x+3/2) al quadrato: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+3x+5}=\frac{4}{11}\int\frac{dx}{\left(\frac{2}{\sqrt{11}}x+\frac{3}{\sqrt{11}}\right)^{2}+1} \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+3x+5}=\frac{4}{11}\int\frac{dx}{\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)^{2}+1} \] Ricaviamo al numeratore la derivata di t \[ \int\frac{dx}{x^{2}+3x+5}=\frac{4}{11}\cdot\frac{\sqrt{11}}{2}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{11}}}{\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{dx}{x^{2}+3x+5}=\frac{2}{\sqrt{11}}\int\frac{\frac{2}{\sqrt{11}}}{\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)^{2}+1}dx \] e otteniamo quindi: \[ \int\frac{dx}{x^{2}+3x+5}=\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)+C_{2} \] Tornando al nostro integrale iniziale: \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}+3x+5}dx=\ln\left(x^{2}+3x+5\right)+C_{1}+2\int\frac{1}{x^{2}+3x+5}dx \] \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}+3x+5}dx=\ln\left(x^{2}+3x+5\right)+2\cdot\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)+C \] \[ \int\frac{2x+5}{x^{2}+3x+5}dx=\ln\left(x^{2}+3x+5\right)+\frac{4}{\sqrt{11}}\arctan\left(\frac{2x+3}{\sqrt{11}}\right)+C \]