Determinare il punto della parabola \[ 4y+x^{2}=10x-5 \] per il quale è massima la somma delle sue coordinate.

Soluzione

Scrivendo l’equazione della parabola in forma esplicita otteniamo: \[ y=\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right) \] Il punto generico P della parabola ha coordinate: \[ P\left(x;\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right)\right) \] La somma delle coordinate di P è la nostra funzione di x: \[ f=x_{P}+y_{P} \] \[ f\left(x\right)=x+\frac{1}{4}\left(-x^{2}+10x-5\right) \] \[ f\left(x\right)=-\frac{x^{2}}{4}+\frac{7}{2}x-\frac{5}{4} \] Calcoliamo la derivata: \[ f’\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(-x+7\right) \] Studiamone il segno: \[ f’\left(x\right)\geq0\rightarrow x\leq7 \] Abbiamo trovato l’intervallo di x per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione f(x) è crescente per x minore di 7, decrescente per x maggiore di 7, ha quindi un massimo per \[ x_{P}=7\rightarrow y_{P}=4 \] e il punto P avrà quindi coordinate \[ P\left(7;4\right) \]