Data la retta di equazione [ frac{x}{m}+frac{y}{m-1}=1 ] determinare m in modo che l’area del quadrato avente per lato il segmento intercettato sulla retta dagli assi sia minima.

Soluzione

Chiamiamo A e B le intersezioni della retta con gli assi cartesiani, e determiniamone le coordinate in funzione di m: [ x=0rightarrow y=m-1rightarrow Aleft(0;m-1right) ] [ y=0rightarrow x=mrightarrow Bleft(m;0right) ] La lunghezza del segmento AB risulta [ overline{AB}=sqrt{left(y_{A}-y_{B}right)^{2}+left(x_{A}-x_{B}right)^{2}} ] Andando a sostituire le coordinate otteniamo AB in funzione della sola variabile m: [ overline{AB}left(mright)=sqrt{left(m-1-0right)^{2}+left(0-mright)^{2}} ] [ overline{AB}left(mright)=sqrt{2m^{2}-2m+1} ] L’area cercata in funzione di m varrà quindi [ f=Area=overline{AB}^{2} ] [ fleft(mright)=2m^{2}-2m+1 ] Calcoliamo la derivata: [ f’left(mright)=4m-2 ] Studiamone il segno: [ f’left(mright)geq0rightarrow mgeqfrac{1}{2} ] Abbiamo trovato l’intervallo di m per il quale la derivata della funzione è positiva. La funzione f(m) è crescente per m maggiore di 1/2, decrescente per m minore di 1/2, ha quindi un minimo per [ m=frac{1}{2} ] e l’area minima vale [ fleft(mright)=frac{1}{2} ]

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