Calcolare i seguenti limiti:

Esercizio 1 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\sin\frac{1}{x} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta all’argomento del seno: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0 \] Visto che il limite della funzione che sta all’argomento del seno tende a 0, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\sin\frac{1}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\sin0=0 \] Esercizio 2 \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\cos e^{x} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta all’argomento del coseno: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}e^{x}=0 \] Visto che il limite della funzione che sta all’argomento del coseno tende a 0, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}\cos0=1 \] Esercizio 3 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\cos\frac{1+x}{2+x^{2}} \] Calcoliamo il limite della funzione che sta all’argomento del coseno: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1+x}{2+x^{2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\left(\frac{1}{x}+1\right)}{x^{2}\left(\frac{2}{x^{2}}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}+1}{x\left(\frac{2}{x^{2}}+1\right)}=0 \] Visto che il limite della funzione che sta all’argomento del coseno tende a 0, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\cos\frac{1+x}{2+x^{2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\cos0=1 \] Esercizio 4 \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\log_{5}\left(4+4^{\frac{1}{x}}\right) \] Calcoliamo il limite della funzione che sta all’argomento del logaritmo: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\left(4+4^{\frac{1}{x}}\right)=4+4^{0}=4+1=5 \] Visto che il limite della funzione che sta all’argomento del logaritmo tende a 5, avremo: \[ \lim_{x\rightarrow\infty}\log_{5}\left(4+4^{\frac{1}{x}}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\log_{5}5=1 \]