Testo

Siano \( f \) e \( g \) le funzioni definite, per tutti gli x reali, da

\[ f(x)\,=|{27x^3}| \text{ e $f$ } s(x)\,= \sin{\left(\frac{3}{2}\pi x\right)}\]

Qual è il periodo della funzione \( g \) ? Si studino \( f \) e \( g \) e se ne disegnino i rispettivi grafici \( G_f \) e a \( G_g \) in un conveniente sistema di riferimento caresiano \( Oxy \).
Si scrivano le equazioni delle rette \( r \) e \( e \) tangenti, rispettivamente, a \(G_f \) e a \(G_g\) nel punto di ascissa \( x=\frac{1}{3} \). Qual è l’ampiezza, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto formato da \( r \) e da \( s \)?
Sia \(R\) la regione delimitata da \( G_f \) e da \( G_g \). Si calcoli l’area di \(R\).
La regione di \(R\), ruotando attorno all’asse \(x\), genera il solido \(\mathcal{S}\) e, ruotando attorno all’asse \(y\), il solito \(\mathcal{T}\). Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T.

Soluzione
1. Il dominio di \(f(x)=|*{27x^3}|\) e di \(g(x)=\sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right)\) è \(\mathbb{R}\). La periodicità di \( g \) è definita come:
\[
g(x+T)=g(x) \hspace{1cm} \forall x \in Dom(g) \hspace{2mm}\land\hspace{2mm} T \in \mathbb{R}_0^+
\]
e quindi:
\[
\sin\left[\frac{3}{2}\pi (x+T)\right]=\sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right)
\]
e, nota la periodicità del seno, la differenza degli argomenti deve essere un multiplo di \(2\pi\)
\[
\left(\frac{3}{2}\pi x + \frac{3}{2}\pi T\right) – \frac{3}{2}\pi x = \frac{3}{2}\pi T = 2k\pi \hspace{5mm}\implies\hspace{5mm} T=\frac{4}{3}k .
\]
La funzione \(g\) rientra nella classe di funzioni \(\sin(ax)\) con \(T=\frac{2\pi}{a}\). Queste ultime sono simmetriche rispetto all’origine (simmetria dispari) e perciò vale \(g(-x)=-g(x)\). Il grafico \(G_g\) si riduce ad una casistica già nota della funzione seno con periodo \(T=\frac{3}{4}\) (in rosso nella Fig.1).
Anche la funzione \(f(x)=|*{27x^3}|\) risulta essere simmetrica rispetto all’origine (simmetria pari) in quanto \(f(-x)=f(x)\):
\[
f(-x)= |*{27(-x)^3}|= |*{-27x^3}|= |*{27x^3}|=f(x) \hspace{1cm} \forall x \in \mathbb{R} .
\]
Separando i due sottoinsiemi di \( \mathbb{R}\) possiamo riscrivere \(f\) come:

\[f:
\begin{cases}
27x^3, \hspace{5mm} x\geq 0
-27x^3,\hspace{5mm} x<0
\end{cases}
\]

il cui grafico \(G_f\) è mostrato in blu in Fig.1.

2. Le funzioni nel punto \(x=\frac{1}{3}\) si intersecano poiché assumono lo stesso valore (Fig.1):
\[
f\left(\frac{1}{3}\right)=|{27\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3}|=1,\hspace{1cm}\text{e}\hspace{1cm}g\left(\frac{1}{3}\right)=\sin\left(\frac{3}{2}\pi \cdot \frac{1}{3}\right)=1.
\]
La retta tangente \(r\) a \(G_f\) è determinata calcolando la derivata prima \(f'(x) \) nel punto \(x=\frac{1}{3}\), cioè
\[f:
\begin{cases}
f'(x)=D(27x^3)
x>0
\end{cases}
\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm} f'(x)=81x^2
\]
per cui
\[
r:y-1=f’\left(\frac{1}{3}\right)\cdot\left(x-\frac{1}{3}\right) \hspace{1cm} \Longrightarrow \hspace{1cm} r: y=9x-2.
\]
La retta tangente al grafico \(G_g \) è la retta orizzontale \(s:y=1.\)
Infatti:
\[g'(x)=D \left[ \sin \left( \frac{3}{2}\pi x \right) \right]=\frac{3}{2}\pi \cdot \cos \left( \frac{3}{2}\pi x\right)\]
e
\[
g\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{3}{2}\pi\cdot\cos\left(\frac{3}{2}\pi\cdot\frac{1}{3}\right)=0.
\]
L’angolo acuto \(\alpha\) (Fig.2) corrisponde all’angolo tra \(r\) e l’asse \(x\). Essendo \(m_r\) il coefficiente angolare di \(r\) e quindi, la tangente goniometrica dell’angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle x, si ha che:
\[
m_r=tg\alpha=9 \hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm} \alpha=\arctan9\approx1,4601 rad
\]
che equivale, in gradi sessagesimali a \(\alpha=83^\circ 39’35”\).

3. L’area \(\mathcal{A}\) della regione R evidenziata in Fig.3 equivale all’integrale definito compreso tra i punti di intersezione di \(G_f\) con \(G_g\):

\begin{align*}
\mathcal{A}=&\int_0^\frac{1}{3} \left[\sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right)-27x^3\right]dx
\end{align*}

\begin{align*}
=&\int_0^\frac{1}{3} \sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right)dx -\int_0^\frac{1}{3} 27x^3 dx
\end{align*}

\begin{align*}
=& \left[-\frac{2}{3\pi}\cos\left(\frac{3}{2}\pi x\right)\right]_0^\frac{1}{3}- \left[27\frac{x^4}{4}\right]_0^\frac{1}{3}
\end{align*}

\begin{align*}
=& -\frac{2}{3\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{2}{3\pi}\cos\left(0\right)-\frac{1}{12}
\end{align*}

\begin{align*}
=& \frac{8-\pi}{12\pi}\approx0,128873.
\end{align*}

Il volume del solido di rotazione \(\mathcal{S}\) rappresentato in Fig.4 si ottiene dall’integrale che rappresenta la differenza del solido generato dalla rotazione attorno \(x\) del trapezoide definito dalla funzione \(g\), con il solido generato dalla regione delimitata da \(f\), dall’asse \(x\) e, ancora, \(x=\frac{1}{3}\). Esplicitamente
\begin{align*}
\mathcal{V}(\mathcal{S})=&\pi\int_0^\frac{1}{3}[g(x)^2]dx-\pi\int_0^\frac{1}{3}[f(x)^2]dx
\end{align*}
\begin{align*}
=&\;\pi\int_0^\frac{1}{3}\sin^2 \left(\frac{3}{2}\pi x\right)dx -\pi\int_0^\frac{1}{3}[(27x^3)^2]dx
\end{align*}
\begin{align*}
=&\;\pi\int_0^\frac{1}{3}\left[\sin^2\left(\frac{3}{2}\pi x\right)-729x^6\right]dx.
\end{align*}

Il solido \(\mathcal{T}\) ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse \(y\), è mostrato nella fig.5. Per impostare il calcolo del suo volume vanno considerate le funzioni inverse di \(f\) e \(g\) ristrette all’insieme
\[
(x,y)|x\in\left[0,\frac{1}{3}\right]\land y \in [0,1].
\]
La funzione \(x=f^-1(y)\) si ottiene risolvendo l’equazione \(y=27x^3\) nella variabile \(x\), ovvero
\[
f^-1(y)=x=\sqrt[3]{\frac{y}{27}}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{y}
\]
mentre per \(g^-1(y)\)
\[
g^-1(y)=x=\frac{2}{3\pi}\arcsin y
\]
Quindi il volume è
\begin{align*}
\mathcal{V}(\mathcal{T})=&\;\pi\int_{0}^{1} \left[\frac{1}{3}\sqrt[3]{y}\right]^2 dy -\pi\int_{0}^{1} \left[\frac{2}{3\pi}\arcsin y\right]^2 dy
\end{align*}
\begin{align*}
=&\;\pi\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{9}y^\frac{2}{3} – \frac{4}{9\pi^2}\arcsin^2y\right)dy.
\end{align*}