TESTO
In un contesto di geometria non euclidea si illustri un esempio di triangolo i
cui angoli non hanno somma 180 \(^\circ \)
SOLUZIONE
Il quinto postulato della geometria euclidea afferma l’esistenza di una e una sola retta parallela ad una data retta \(r\) e passante per un punto \(P\not\in r\). Se si postula che da un punto \(P\not\in r\), non esistano parallele alla retta stessa, si ottiene la geometria ellittica il cui modello fisico è la geometria su una superficie sferica. In tale contesto la retta è rappresentata da una circonferenza massima ovvero dalla circonferenza che si ottiene intersecando la sfera con un piano passanto per il suo centro. Perciò se \(P\) è un punto appartenente alla circonferenza massima \(r\) allora non possono esistere altre circonferenze massime che siano ad essa parallele . Come si vede in Fig.1 la somma degli angoli interni può essere maggiore dell’angolo piatto. Gli angoli \(\alpha\) e \(\beta\) del triangolo giallo sono retti cosicché la misura dell’angolo \(\gamma\) fornisce di quanto la somma degli angoli interni eccede \(\pi\).

Nella geometria iperbolica dato un punto \(P\) con \(P\) \(\not\in r\), esistono almeno due rette parallele a \(r\) passanti per \(P.\) La Fig.2 rappresenta un triangolo nel piano di Poincaré come intersezione di tre rette che sono rappresentate dagli archi di circonferenze che intersecano ortogonalmente la circonferenza limite. In tale contesto la somma degli angoli di un triangolo è minore di \(pi\).