Testo Sia \(f(x)=(2-x)\sqrt{4x-x^2}.\)\\ 1. Di seguito è disegnato il grafico \(\Gamma\) di \(f(x)\). Si dimostri che (2;0) è centro di simmetria di \(\Gamma\) e si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l’angolo che la tangente in esso a \(\Gamma\) forma con la direzione positiva dell’asse \(x\).\\ 2. Si dimostri che, qualunque sia \(t\), \(0,t,2\), le […]

Testo Sia \(g(x)\) una funzione continua sull’intervallo chiuso [-4,6]. Il grafico di \(g(x)\) mostrato in Fig., passa per i punti \(A(-4;0),\;O(0;0),\;B(2;2),\;C(4;2),\;D(6;0)\) e consiste della semicirconferenza di diametro \(AO\), dell’arco, quarto di circonferenza, di estremi \(O\) e \(B\), del segmento \(BC\) e dell’arco \(CD\) di una parabola avente per asse di simmetria l’asse \(x\).\\ 1. Si […]

TESTO In un contesto di geometria non euclidea si illustri un esempio di triangolo i cui angoli non hanno somma 180 \(^\circ \) SOLUZIONE Il quinto postulato della geometria euclidea afferma l’esistenza di una e una sola retta parallela ad una data retta \(r\) e passante per un punto \(P\not\in r\). Se si postula che […]

testo Si calcolino l’altezza e il raggio del massimo cilindro circolare retto inscritto in una sfera di raggio \(\sqrt{3}\). soluzione Consideriamo la Fig.1. L’altezza del cilindro è \(h=2\cdot\overline{OH}=2x\) con \(0<2x\leq 2r\). Se chiamiamo A un punto qualsiasi appartenente alla circonferenza di base, il volume \(\mathcal{V}\) del cilindro è \[ \mathcal{V}=\pi\cdot\overline{AH}^2\cdot\overline{OH}=\pi(r^2-x^2)\cdot 2x. \] Calcoliamo la derivata […]

Testo Se \(f'(x)=\ln x-x+2\), per quali dei seguenti valori approssimati di \(x\), \(f\) ha un minimo relativo? (A)5,146\(\hspace{1cm}\) (B)3,146\(\hspace{1cm}\) (C)1,000\(\hspace{1cm}\) (D)0,159\(\hspace{1cm}\) (E)0 Soluzione Per individuare il minimo relativo delle funzione \(f\) \[ f'(x)=\ln x-x+2 \] Il dominio di \(f’\) \(\mathbb{R}_0^+\) a causa della presenza del logaritmo naturale.Lo studio dell’equazione \(f'(x)=0\) richiederebbe un confronto grafico tra […]

Testo La “zara” è un gioco d’azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale – ne parla anche Dante nella Divina Commedia – e si giocava con tre dadi. Si confronti la probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma 10. Soluzione Per […]

Testo Le lettere \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{R}\) denotano, rispettivamente, gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali mentre il simbolo \(\aleph_0\)(aleph-zero) indica la cardinalità di \(\mathbb{N}\). Gli insiemi \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{R}\) hanno anch’essi cardinalità \(\aleph_0\). Si motivi la risposta. Soluzione Gli insiemi degli interi relativi \(\mathbb{Z}\), e dei razionali \(\mathbb{Q}\), hanno la […]

TESTO Si stabilisca per quali valori di \(a\) e \(b\), si ha \[ \lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{4+bx}-2}{x}=1. \] SOLUZIONE Nel limite proposto, il numeratore non può essere \(\neq 0\) altrimenti il limite divergerebbe. Quindi possiamo subito dire che \(\sqrt{a+bx}-2=0\hspace{3mm}\Longrightarrow\hspace{3mm}\sqrt{a+bx}=2.\) Ne consegue immediatamente che \(a=4\) poichè \(\lim_{x\to 0}bx=0.\) Ora, ricaviamo \(b\): \begin{align*} \lim_{x\to 0 }\frac{\sqrt{4+bx}-2}{x}&=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{4+bx}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{4+bx}+2}{\sqrt{4+bx}+2}=\\ &=\lim_{x\to […]

testo Venti palline sono poste in un’urna. Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche. Dall’urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline. Si valutino le seguenti probabilità: – esattamente una pallina é rossa, – le tre palline sono di colori differenti. soluzione Definiamo \(n_r,n_v,n_g\) e \(n_b\) rispettivamente il numero di palline […]