Testo

Se \(f'(x)=\ln x-x+2\), per quali dei seguenti valori approssimati di \(x\), \(f\) ha un minimo relativo?
(A)5,146\(\hspace{1cm}\)
(B)3,146\(\hspace{1cm}\)
(C)1,000\(\hspace{1cm}\)
(D)0,159\(\hspace{1cm}\)
(E)0

Soluzione

Per individuare il minimo relativo delle funzione \(f\)
\[
f'(x)=\ln x-x+2
\]
Il dominio di \(f’\) \(\mathbb{R}_0^+\) a causa della presenza del logaritmo naturale.Lo studio dell’equazione \(f'(x)=0\) richiederebbe un confronto grafico tra una funzione trascendente e una razionale. Per questo motivo ricerchiamo una via alternativa. Analizziamo quindi il segno di \(f”(x)\)
\[
f”(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}\geq 0
\]
Il segno della derivata di \(f’\) è riassunto in Fig. 1. Si nota la presenza di un massimo in \(x=1\) dove \(f'(1)=1.\)

Poichè
\[
\lim_{x\to0+}{(\ln x-x+2)}=-\infty
\]

la \(f'(x)\) presenta in \(x=0^+\) un asintoto verticale e, data la sua continuità, dovrà esistere un valore \(\alpha\in]0,1[\) dove \(f'(\alpha)=0\) tale che, nell’intervallo di definizione di \(\alpha\), la funzione \(f’\) sia negativa.
Dato che il limite
\[
\lim_{x\to+\infty}{(\ln x-x+2)}=-\infty,
\]
dove abbiamo considerato il fatto che l’ordine di infinito di \(\ln\) è minore rispetto alla funzione \(x\), esisterà un altro valore \(\beta>1\), tale per cui \(f'(\beta)=0\).
In Fig.2 proponiamo un andamento qualitativo della \(f'(x)\).

Per la continuità di \(f’\) il segno della funzione \(f’\) nel suo dominio dovrà essere (Fig.3)
\[
f'(x)\ge 0 \Leftrightarrow \alpha \le x \le \beta.
\]

Il minimo relativo di \(f\) è quindi raggiunto in un punto di ascissa compresa tra 0 e 1 per cui la risposta corretta è la D.