Testo
La “zara” è un gioco d’azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale – ne parla anche Dante nella Divina Commedia – e si giocava con tre dadi. Si confronti la probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma 10.

Soluzione
Per ottenere una somma di 9 con un lancio di tre dadi potranno presentarsi le terne
\[
a_1=162,\hspace{5mm}a_2=153,\hspace{5mm}a_3=144,\hspace{5mm}a_4=252,\hspace{5mm}
a_5=243,\hspace{5mm}a_6=333
\]
e ciascuna potrà assumere un ordine diverso nei lanci. Osserviamo che le terne \(a_1,\) \(a_2\) e \(a_5\) sono costituite da numeri distinti per cui ciascuna di queste potrà uscire in \(3!=6\) modi diversi. Invece, le terne \(a_3=144\) e \(a_4=252\) presentano invece due numeri uguali per cui potranno dar origine solo a tre lanci, ovvero il numero di permutazioni di tre oggetti con solo due distinti ossia
\[
n(144)=n(252)=\frac{3!}{2!}=3.
\]
Infine la terna \(a_5=333\) potrà apparire solo in un modo per cui il numero totale dei lanci con somma 9, \(n_9\), è in definitiva
\[
n_9= 3!\cdot3+3\cdot2+1=18+6+1=25
\]
Ragionando allo stesso modo le terne che danno esiti con somma 10 sono
\[
b_1=163,\hspace{5mm}b_2=154,\hspace{5mm}b_3=262,\hspace{5mm}
b_4=253,\hspace{5mm}b_5=244,\hspace{5mm}b_6=343
\]
Tra queste \(b_1,b_2,b_4\) danno origine a 3!=6 permutazioni ciascuna mentre \(b_3,b_5,b_6\) originano 3 permutazioni ciascuna. Il numero totale di esiti con somma 10 è quindi
\[
n_{10}=3!\cdot3+3\cdot3=18+9=27
\]
Infine il numero \(n\) di tutte le possibili combinazioni di 6 numeri a gruppi di 3 è dato da \(n=6^3=216\) per cui le probabilità richieste si deducono dalle definizione classica dai rapporti
\[
p_9=\frac{n_9}{n}=\frac{25}{216}\approx0,1157,\hspace{1cm}
p_10=\frac{n_{10}}{n}=\frac{27}{216}\approx0,125
\]
concludiamo quindi con l’affermazione che \(p_9 < p_{10}\).