Testo
Le lettere \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) e \(\mathbb{R}\) denotano, rispettivamente, gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali e reali mentre il simbolo \(\aleph_0\)(aleph-zero) indica la cardinalità di \(\mathbb{N}\). Gli insiemi \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{R}\) hanno anch’essi cardinalità \(\aleph_0\). Si motivi la risposta.

Soluzione

Gli insiemi degli interi relativi \(\mathbb{Z}\), e dei razionali \(\mathbb{Q}\), hanno la medesima cardinalità dell’insieme di numeri naturali \(\mathbb{N}\) ossia la cardinalità del numerabile
\[
card(\mathbb{Z})=card(\mathbb{Q})=\aleph_0
\]
Difatti, per dimostrare che \(card(\mathbb{Z})=\aleph_0\) è sufficiente individuare una funzione \( f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}\) che sia biunivoca. A tal fine poniamo
\[
f:\begin{cases}
\frac{n}{2},& \mbox{se }n\mbox{ pari}
\frac{1-n}{2},& \mbox{se }n\mbox{ dispari}
\end{cases}
\]
Questa funzione da origine alla successione

che fa corrispondere ad ogni numero naturale uno e uno solo numero relativo esaurendo comunque l’insieme \(\mathbb{Z}\). In particolare fa corrispondere ai naturali pari i relativi positivi, ai dispari, lo zero e quelli negativi.
La dimostrazione della sua iniettività procede negando questa proprietà e quindi suppondendo che
\[
n_1, n_2\; \mathcal{2}\; \mathbb{N}, \hspace{1cm} n_1\ne n_2 \Longrightarrow f(n_1)=f(n_2)
\]
Seguono tre possibilità:
a) sia \(n_1\) che \(n_2\) sono pari per cui da
\[
f(n_1)=f(n_2)\hspace{5mm}\Longrightarrow\hspace{5mm}
\frac{n_1}{2}=\frac{n_2}{2}\hspace{5mm}\Longrightarrow\hspace{5mm}
n_1=n_2
\]
contro l’ipotesi che siano diversi.
b) Sia \(n_1\) che \(n_2\) sono dispari per cui da
\[
f(n_1)=f(n_2)\hspace{5mm}\Longrightarrow\hspace{5mm}
\frac{1-n_1}{2}=\frac{1-n_2}{2}\hspace{5mm}\Longrightarrow\hspace{5mm}
n_1=n_2
\]
ancora contro l’ipotesi.
c) \(n_1\) pari e \(n_2\) dispari (l’opposto è del tutto analogo): allor
\[
f(n_1)=f(n_2)\hspace{5mm}\Longrightarrow\hspace{5mm}
\frac{n_1}{2}=\frac{1-n_2}{2}\hspace{5mm}\Longrightarrow\hspace{5mm}
n_1=1-n_2
\]
ma \(n_1>0\) e \(1-n_2\le0\) per cui si cade in una contraddizione.
La suriettività afferma che \(\forall z\;\mathcal{2}\; \mathbb{Z}, \exists n\; \mathcal{2}\;\mathbb{N}\) tale che \(f(n)=z\). Difatti nel caso che sia \(z>0\), l’equazione ammette sempre la soluzione
\[
z=\frac{n}{2}\hspace{5mm}\Longrightarrow\hspace{5mm}
n=2z\;\mathcal{2}\;\mathbb{N}
\]
ed \(n\) è pari. Se invece \(z\le0\), l’equazione
\[
z=\frac{1-n}{2}\hspace{5mm}\Longrightarrow\hspace{5mm}
2z=1-n\hspace{5mm}\Longrightarrow\hspace{5mm}
n=1+(-2z)\;\mathcal{2}\;\mathbb{N}
\]
in quanto al numero pari e positivo \(-2z\) si aggiunge 1 ottenendo un numero certamente dispari. Nella dimostrazione che
\[
card(\mathbb{Q})=\aleph_0
\]
si segue il “primo argomento diagonale” di Cantor.
Non è invece possibile determinare una funzione biunivoca tra \(\mathbb{N}\) e l’insieme \(\mathbb{R}\). Cantor ha dimostrato che l’insieme \(\mathbb{R}^+\) dei numeri reali positivi non ha la cardinalità del numerabile. Questa dimostrazione procede per assurdo ipotizzando
\[
card(\mathbb{N})=card(\mathbb{R})\]

I secondi membri di tale successione dovrebbero, per l’ipotesi appena fatta e la suriettività di \(f\), esaurire tutti i numeri reali positivi. Ma seguendo la linea dimostrativa di Cantor (indicata oggi come “secondo argomento diagonale”) costruiamo il numero reale \(r\) avente come parte intera una cifra qualsiasi, mentre la parte frazionaria si ottiene sostituendo alla cifra \(b_{11}\) una cifra \(c_{11}\) diversa, a \(b_{22}\) la cifra \(c_{22}\ne b_{22}\) e così, sequenzialmente.
In sostanza alle cifre “diagonali”, si sono sostituite delle cifre diverse. Il numero \(r\) reale così formato
\[
r = a_1,c_{11}c_{22}c_{33} \cdots c_{ii} \cdots
\]
non è immagine di alcun numero naturale in quanto ha almeno una cifra dopo la virgola diversa da \(f(i)\) qualsiasi sia il numero naturale \(i\), ossia
\[
r\ne f(i)\hspace{1cm}\forall i\;\mathcal{2}\;\mathbb{N}
\]
Tale numero non è quindi compreso nella successione per cui l’ipotesi che questa esaurisse l’insieme \(\mathbb{R}\) è falsa. Cantor di conseguenza ha ipotizzato una cardinalità per l’insieme \(\mathbb{R}\) maggiore del numerabile, \(card(\mathbb{R})>\aleph_0\) e questa viene definita come “cardinalità del continuo”.