Testo A lato è disegnato il grafico \(\Gamma\) della funzione \[ f(x) = x \sqrt{4 – x^2}. \] 1) Si calcolino il massimo e il minimo assoluti di f(x). 2) Si dica se l’ origine O è centro di simmetria per \(\Gamma\) e si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l’ angolo che la tangente […]
Testo Del polinomio di quarto grado P(x) si sa che assume il suo massimo valore 3 per \(x = 2\) e \(x = 3\) e, ancora, che \(P(1) = 0\). Si calcoli P(4). Soluzione Il polinomio richiesto deve rientrare nella forma generale \[ P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \] […]
Testo Si determini il dominio della funzione: \(f(x) = \sqrt{3 – \log_2(x + 5)}\). Soluzione Le condizioni che determinano il dominio della funzione si traducono nella disequazione \(x – 5 > 0\) necessaria per poter calcolare il logaritmo e nell’ ulteriore condizione \(3 – \log_2(x + 5) \geq 0\) per l’ esistenza della radice quadrata. […]
Testo Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di \(\alpha\)? Soluzione Gli elementi assegnati per il triangolo (lunghezza di due lati e angolo non compreso) permettono la risoluzione con due triangoli che soddisfino alle condizioni poste, visto che siamo in un caso di Lato-Lato-Angolo (LLA). Deve essere soddisfatta […]
Testo Si spieghi perchè non esistono poliedri regolari le cui facce siano esagoni. Soluzione I poliedri regolari (detti pure solidi platonici) sono quei solidi che hanno per facce dei poligoni regolari tutti congruenti. Nel caso in esame le facce dovranno essere degli esagoni regolari che possiedono angoli di \(120^{\circ}\) ad ogni vertice. Per poter comunque […]
Testo Nello sviluppo di \((2a^2 – 3b^3)^n\) compare il termine \(-1080a^4b^9\). Qual è il valore di n? Soluzione Con lo sviluppo di Newton del binomio, si pongono \(A=a2a^2\) e \(B=-3b^3\). In tal modo si può ridurre il binomio alla forma standard \[ (A + B)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} A^k B^{n-k} \] dove \[ \quad n=k+(n-k) \] […]
Testo Un solido \(\Omega\) ha per base la regione R delimitata dal grafico di \(f(x) = e^{\frac{1}{x}}\) e dall’ asse x sull’ intervallo [-2,-1]. In ogni punto di R di ascissa x, l’ altezza del solido è data da \(h(x)=\frac{1}{x^2}\). Si calcoli il volume del solido. Soluzione Nell’intervallo [-2,-1] la funzione f è evidentemente continua […]
Testo Dei numeri 1, 2, 3, . . . 6000, quanti non sono divisibili nè per 2, nè 3 nè per 5? Soluzione Poichè il minimo comune multiplo di 2, 3 e 5 è \(m.c.m. = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\) contiamo quanti numeri x tra 1 e 30 non sono divisibili nè […]
Testo Un’ azienda commercializza il suo prodotto in lattine da 5 litri a forma di parallelepipedo a base quadrata. Le lattine hanno dimensioni tali da richiedere la minima quantità di latta per realizzarle. Quali sono le dimensioni, arrotondate ai mm, di una lattina? Soluzione Poniamo \(V_0 = 5\) L e sia x il lato della […]
Testo Il valor medio della funzione \(f(x) = x^3\) sullintervallo chiuso \([0, k]\) è 9. Si determini \textit{k}. Soluzione Il valor medio \(\overline{f}\) di una funzione f continua in un intervallo [a, b] è rappresentato dall’ integrale definito \[ \overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x) \ \mbox{d}x. \] L’ intervallo dato dal testo presuppone implicitamente che sia k […]