Testo

Del polinomio di quarto grado P(x) si sa che assume il suo massimo valore 3 per \(x = 2\) e \(x = 3\) e, ancora, che \(P(1) = 0\). Si calcoli P(4).

Soluzione

Il polinomio richiesto deve rientrare nella forma generale

\[
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
\]

mentre le condizioni cui deve soddisfare sono:
P(2)= 3
P(3) = 3
P(1) = 0
P'(2) = 0
P'(3) = 0.

Le prime tre sono immediate ed esprimono, geometricamente, l’ appartenenza dei punti (2, 3), (3, 3), (1, 0) al grafico di P(x) mentre le ultime due traducono l’ annullarsi della derivata nei punti di massimo di ascissa 2 e 3 in quanto è nota la derivabilità in \(\mathbb{R}\) dei polinomi. Poichè il calcolo della derivata prima di P(x) fornisce \(P'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d\), il sistema si esplicita in

16a + 8b + 4c + 2d + e = 3
81a + 27b + 9c + 3d + e = 3
a + b + c + d + e = 0
32a + 12b + 4c + d = 0
108a + 27b + 6c + d = 0

sottraendo la prima equazione alla seconda del sistema si elimina l’ incognita e, otteniamo il sistema ridotto

65a + 19b + 5c + d = 0
32a + 12b + 4c + d = 0
108a + 27b + 6c + d = 0

da cui sottraendo la seconda alla prima e la prima alla terza, si ottiene

33a + 7b + c = 0
43a + 8b + c = 0.

sottrando la seconda alla prima, si ottiene

\[
10a + b = 0 \quad \Rightarrow \quad b=-10a
\]

si sostituisce b nella prima equazione dell’ ultimo sistema, ottenendo:

\[
33a – 70a + c = 0
\]

da cui \(c=37a)\). Si procede allo stesso modo fino ad esplicitare d ed e.
Fino ad ottenere

\[
16a – 80a + 148a – 120a + 32a = 3 \quad \Rightarrow \quad -4a=3 \quad \Rightarrow \quad a=-\frac{3}{4}
\]

una volta ottenuto a, posso risalire a b, c, d ed e.
Il polinomio è quindi

\[
P(x) = -\frac{3}{4} x^4 + \frac{15}{2}x^3 -\frac{111}{4}x^2 + 45x – 24
\]

e il suo valore in \(x = 4\) risulta \(P(4)=0\).