Testo

Si determini il dominio della funzione: \(f(x) = \sqrt{3 – \log_2(x + 5)}\).

Soluzione

Le condizioni che determinano il dominio della funzione si traducono nella disequazione \(x – 5 > 0\) necessaria per poter calcolare il logaritmo e nell’ ulteriore condizione \(3 – \log_2(x + 5) \geq 0\) per l’ esistenza della radice
quadrata. Il sistema da risolvere è quindi tra le disequazioni

\[
x + 5 > 0 \] e
\[
3 – \log_2(x + 5) \geq 0
\]

La seconda implica

\[
– \log_2(x + 5) \geq -3 \quad \Rightarrow \quad \log_2(x + 5) \leq 3.
\]

Riscritto il secondo membro come \(3 = \log_2(2^3)\), la monotonia crescente del logaritmo a base 2 implica che

\[
\log_2(x+5) \leq \log_2(2^3) \quad \Rightarrow \quad x+5 \leq 2^3 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3.
\]

Quindi il sistema si riduce alle disequazioni

\[
x > 0 – 5 \]
e
\[
x \leq 3
\]

per cui il dominio della funzione è l’ intervallo \([-5, 3]\).