Testo

A lato è disegnato il grafico \(\Gamma\) della funzione

\[
f(x) = x \sqrt{4 – x^2}.
\]

1) Si calcolino il massimo e il minimo assoluti di f(x).
2) Si dica se l’ origine O è centro di simmetria per \(\Gamma\) e si calcoli, in gradi e primi sessagesimali, l’ angolo che la tangente in O a \(\Gamma\) forma con la direzione positiva dell’ asse x.
3) Si disegni la curva d’ equazione \(y^2 = x^2 (4-x^2)\) e si calcoli l’area della parte di piano da essa racchiusa.
4) Sia \(h(x) = \sin(f(x)) \quad \mbox{con} \quad 0 \leq x \leq 2\). Quanti sono i punti del grafico di h(x) di ordinata 1? Il grafico di h(x) presenta punti di minimo, assoluti o relativi? Per quali valori reali di k l’ equazione \(h(x) = k\) ha 4 soluzioni distinte?

Soluzione

Il grafico \(\Gamma\) mostra come il massimo e il minimo assoluti nell’ intervallo [-2, 2] siano raggiunti in punti interni caratterizzati da una retta tangente orizzontale e quindi con derivata prima nulla.
Notata la simmetria dispari di f,

\[
f(-x) = (-x)\sqrt{4 -(- x)^2} = -x\sqrt{4 – x^2} = -f(x) \quad \forall x \in [-2,2]
\]

il calcolo della derivata prima f'(x) fornisce

\[
f'(x) = 1 \cdot \sqrt{4-x^2}+ x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2} – \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4 – x^2 -x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{2(2-x^2)}{\sqrt{4-x^2}}
\]
\[
\quad x \in [-2,2]
\]

Lo studio del suo segno dipende dal solo numeratore per cui la disequazione \(f'(x) \geq 0 \) presenta le soluzioni

\[
2-x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}
\]

e quindi le ascisse dei punti di minimo e di massimo assoluti (fig. 2) sono, rispettivamente, \(x_m = -\sqrt{2}\) e \(x_M = \sqrt{2}\).

In corrispondenza dei quali la funzione assume i valori estremi \(f(x_m) = -2\) ed \(f(x_M)=2\). Il suo codominio è l’ intervallo [-2,2].

2) La simmetria centrale del grafico \(\Gamma\) rispetto all’ origine O è gia stata dimostrata nel punto 1: qui intendiamo ottenerla in forme più generali applicando direttamente le sue equazioni rappresentative e la rispettiva trasformazione inversa

\[
\sigma_O :
\]
x’ = -x
y’ = -y

\[
\sigma_{O}^{-1} :
\]
x = -x’
y = -y’

all’ equazione f riscritta come \(y=x\sqrt{4-x^2}\), ottenendo

\[
-y’ = -x’\sqrt{4-(-x’)^2} \quad \Rightarrow \quad y’ = x’\sqrt{4-(x’)^2}
\]

si noti come l’ ultima equazione sia identica a quella di partenza confermando che \(\Gamma\) è un insieme unito rispetto alla trasformazione \(\sigma_O\).
L’angolo richiesto si deduce determinando innanzitutto il coefficiente angolare m della retta tangente a \(\Gamma\) nell’origine, grandezza che sappiamo essere rappresentata dalla \(m = f'(0)\). Ripresa l’ espressione della f'(x) riportata al punto 1 abbiamo

\[
f'(0) = \frac{2(2-0)}{\sqrt{4-0}}=2
\]

per cui, ricordato il significato trigonometrico di coefficiente angolare \(m = \tan \alpha\) con \(\alpha\) angolo
definito dalla retta e dal semiasse positivo x, abbiamo

\[
f'(0)=\tan \alpha=2 \quad \Rightarrow \quad \alpha=\arctan2 \approx 63,4349^\circ = 63^\circ 26′ 06”.
\]

3)Poichè \(y^2 \geq 0\), evidentemente l’ equazione \(y^2=x^2(4-x^2)\) ammette soluzioni (x, y) solo nel caso che sia \(4 – x^2 \geq 0\) ossia per \(x \in [-2,2]\). In tale intervallo l’ equazione è equivalente alla

\[
\sqrt{y^2} = \sqrt{x^2(4-x^2)} \quad \mbox{che è uguale a} \quad \left|y\right|=\left|x\right|\sqrt{4-x^2}
\]

e, nell’ ipotesi che x e y abbiano segno concorde, quest’ ultima si riduce alla funzione studiata e al grafico \(\Gamma\). Nel caso invece che le coordinate abbiano segno discorde ossia che il punto rappresentato dalla coppia (x, y) appartenga al II o IV quadrante, l’ equazione si riduce a \(y = – x \sqrt{4 – x^2}\) che, evidentemente, rappresenta la curva simmetrica rispetto all’ asse x dell’ equazione di partenza.
In sostanza, l’ equazione \(y^2=x^2(4-x^2)\) è invariante se gli viene applicata una trasformazione secondo simmetria centrale rispetto all’origine degli assi, simmetria assiale di asse x e, infine, simmetria assiale di asse y. Il grafico dell’ equazione è quello rappresentato in fig.3.

Per le simmetrie di tale curva, l’area \(\mathcal{A_{tot}}\) richiesta è pari a 4 volte l’ area \(\mathcal{A}\) della
regione compresa nel primo quadrante, la quale è riconducibile all’ integrale definito

\[
\mathcal{A} = \int_{0}^{2} x \sqrt{4-x^2} \ \mbox{d}x.
\]

Nell’ integrale indefinito associato \(\int x \sqrt{4-x^2} \ \mbox{d}x\) pu\`{o} essere sostituito \(t=4-x^2\) e, visto che \(\mbox{d}t= -2x \ \mbox{d}x\) e quindi \(-\frac{1}{2} \ \mbox{d}t=x \ \mbox{d}x\), si ha:

\[
\int x \sqrt{4-x^2} \ \mbox{d}x = \int \sqrt{t}\cdot \left(- \frac{1}{2} \ \mbox{d}t\right) = -\frac{1}{2}\int\sqrt{t} \ \mbox{d}t
\]

siccome rientra fra gli elementari, risolvendo si ha

\[
-\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}+1}}{(\frac{1}{2}+1)} + c = -\frac{\sqrt{t^3}}{3}+c = -\frac{1}{3} \cdot \sqrt{(4-x^2)^3}+c = \mathcal{A}
\]

\[\mathcal{A_{tot}}=4 \cdot\mathcal{A}=4\left[-\frac{1}{3}\cdot \sqrt{(4-x^2)^3}\right]_{0}^{2} = 4\left[0 – \left(-\frac{1}{3}\right)\sqrt{4^3}\right] = \frac{32}{3}.
\]

4)La funzione h

\[
h(x)= \sin \left[f(x)\right] = \sin\left(x \sqrt{4-x^2}\right)
\]

è continua nell’intervallo [0,2], siccome composta dalle funzioni f e dal seno (a loro volta definite e continue in tale intervallo). Agli estremi la funzione h risulta nulla, mentre se \(x\in [0,2]\) anche \(f(x)\in [0,2]\) e quindi \( h(x) > 0\) in quanto \([0,2]\subset[0, \pi] \).
Quindi

\[
h(x)= \sin[f(x)]=1 \quad \Rightarrow \quad f(x)=\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad \mbox{con} \quad k \in \mathbb{Z}
\]

conoscendo il codominio di f solo \(f=\frac{\pi}{2}\) può fornire delle soluzioni. Essa rappresenta graficamente la ricerca delle intersezioni del grafico \(\Gamma\) di f con la retta \(y=\frac{\pi}{2}\), che, come suggerito dal grafico in fig.4 presenta due soluzion \(\\alpha\) e \(\beta\).

Procedendo formalmente l’equazione precedente si esplicita come

\[
x\sqrt{4-x^2}=\frac{\pi}{2} \quad \mbox{nell’ intervallo [0,2] è uguale a} \quad x^2(4-x^2)=\frac{\pi^2}{4}
\]
sostituendo \(t=x^2\) si riduce a \(t^2-4t+\frac{\pi^2}{4}=0\) con soluzioni

\[
t_{1,2} = 2\pm \sqrt{4-\frac{\pi^2}{4}}
\]
da cui derivano i 4 valori

\[
x_{1,2}=\pm\alpha=\pm\sqrt{2-\sqrt{4-\frac{\pi^2}{4}}} \approx \pm 0,8729
\]

\[
x_{3,4}=\pm\beta=\pm\sqrt{2+\sqrt{4-\frac{\pi^2}{4}}} \approx \pm 1,7994
\]
tra i quali sono accettabili solo quelli compresi in [0,2], quindi \(\alpha\pm 0,8729\) e \(\beta\pm 1,7994\). \\

Per quanto osservato inizialmente circa il segno di h(x), la funzione h presenta un minimo assoluto pari allo zero che viene raggiunto nei due estremi dell’ intervallo. Per la ricerca dei minimi relativi calcoliamo invece la derivata prima

\[
h'(x)=\cos[f(x)] \cdot f'(x) = \cos\left(x \sqrt{4-x^2}\right) \cdot \frac{2(2-x^2)}{\sqrt{4-x^2}}
\]

Lo studio del segno dei fattori non positivi implica

\[
\cos\left(x\sqrt{4-x^2}\right) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x\sqrt{4-x^2} \leq \frac{\pi}{2}
\]

visto che l’argomento del coseno deve essere nell’intervallo [0,2].
Analogamente a quanto fatto prima

\[
x^2(4-x^2) \leq \frac{\pi^2}{4} \quad \Rightarrow \quad x^4-4x^2+\frac{\pi^2}{4} \geq 0
\]
posto \(t=x^2\) la disequazione \(t^2 – 4t + \frac{\pi^2}{4} \geq 0 \) è risolta dalle

\[
x^2 \leq \alpha^2 \quad \veebar \quad x^2 \geq \beta^2
\]

dalle quali si ha

\[
-\alpha \leq x \leq \alpha \quad \veebar \quad x\leq-\beta \quad \veebar \quad x\geq\beta
\]

che intersecati con [0,2] implicano

\[
\cos\left(x\sqrt{4-x^2}\right) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 0 \leq x \leq \alpha \quad \veebar \quad \beta \leq x \leq 2.
\]

Il fattore \(2 – x^2\) di \textit{h'(x)} è evidentemente positivo quanto

\[
2-x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}
\]

per cui il segno di h'(x) si ottiene combinando i due fattori come mostrato in fig. 5: si può concludere quindi che

\[
h'(x) \geq 0 \quad \Leftrightarrow \quad x \in [a, \alpha]\cup [\sqrt{2},\beta].
\]

La funzione h presenta quindi un minimo relativo in corrispondenza di \(x_m = \sqrt{2}\) di ordinata \(h(\sqrt{2}) = \sin[f(\sqrt{2})] = \sin \)2 che si affianca al minimo assoluto nullo raggiunto agli estremi.
Nella figura 6 riportiamo un possibile andamento del grafico \(\Gamma’\) della funzione h(x) evidenziando, in particolare, i punti dove la funzione assume valori estremi.

Infine, la ricerca del numero delle soluzioni dell’ equazione parametrica \(h(x) = k\)
è equivalente alla ricerca delle soluzioni del sistema

y = h(x)
y = k

Noto quindi il grafico \(\Gamma’\) di \(y = h(x)\) e, interpretata l’ equazione \(y = k\) come la rappresentazione di un fascio di rette orizzontali, possiamo osservare come quest’ ultimo incontri \(\Gamma’\) in quattro punti solo se il fascio è compreso tra le ordinate del minimo relativo e del massimo assoluto ossia se \(k\in[\sin2,1]\).