Testo

Un’ azienda commercializza il suo prodotto in lattine da 5 litri a forma di parallelepipedo a base quadrata. Le lattine hanno dimensioni tali da richiedere la minima quantità di latta per realizzarle. Quali sono le dimensioni, arrotondate ai mm, di una lattina?

Soluzione

Poniamo \(V_0 = 5\) L e sia x il lato della base quadrata della lattina e h la sua altezza (fig. 1).

Il volume \(\mathcal{V}_0\) si esprime come \(\mathcal{V}_0=x^2 \cdot h\) e la lunghezza x del lato potrà assumere qualsiasi valore positivo, con \(h \rightarrow +\infty \quad \mbox{se} \quad x \rightarrow 0 \) e viceversa.
La superficie totale è data dalla somma dell’area delle basi piu quella della superficie laterale:

\[
\mathcal{S}=2x^2 + 4hx
\]

Ricavando h dalla formula del volume e sostituendola nella precedente equazione si ricava una funzione ad una sola variabile

\[
\mathcal{S}=2x^2 + \frac{4\mathcal{V}_0}{x}, \quad x > 0.
\]

Studiando il segno di \(\mathcal{S}’\) si ricerca il minimo della funzione.

\[
\mathcal{S}’= 4x + 4\mathcal{V}_0 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)= \frac{4(x^3-\mathcal{V}_0)}{x^2}
\]

per cui \(\mathcal{S}’ \geq 0 \) implica che \(x^3-\mathcal{V}_0 \geq 0\). Da cui

\[
x_m = \sqrt[3]{\mathcal{V}_0} \quad \Rightarrow \quad x_m^3=\mathcal{V}_0.
\]

\[
\mathcal{V}_0=5 \ \mbox{L} = 5 \ \mbox{dm}^3 = 5 \times 10^6 \ \mbox{mm}^3
\]

quindi la lunghezza del lato di base è \(x_m \approx 171 \ \mbox{mm}\) ed h

\[
h= \frac{\mathcal{V}_0}{x_m^2} = \frac{x_m^3}{x_m^2} = x_m \approx 171 \ \mbox{mm}
\]

Per cui il parallelepipedo assume la forma di un cubo.