Testo

Dei numeri 1, 2, 3, . . . 6000, quanti non sono divisibili nè per 2, nè 3 nè per 5?

Soluzione

Poichè il minimo comune multiplo di 2, 3 e 5 è \(m.c.m. = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30\) contiamo quanti numeri x tra 1 e 30 non sono divisibili nè per 2, nè per 3, nè per 5. Se \(x \neq 2n \mbox{con} n \in \mathbb{N}\) rimangono i 15 numeri dispari. Da questi vanno esclusi i multipli di 3. Infine escludiamo i numeri \(x \neq 5n \mbox{con} n \in \mathbb{N}\)e otteniamo l’ insieme A composto da 8 nunmeri:

\[
A=\{1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\}
\]

Se ora consideriamo i numeri tra 31 e 60, questi si ottengono dai precedenti sommando ad essi 30. Allora, nel caso che siano multipli di 2, 3 o 5, lo saranno pure i numeri di questo intervallo in quanto 30 contiene come fattori 2, 3 e 5. I valori dell’ insieme A non potranno essere multipli di 2, 3 e 5, per cui ritroveremo altri 8 numeri che soddisfano alla proprietà richiesta.
In generale

\[
x \in A, \quad y = x + m \cdot 30
\]

con \(m \in \mathbb{N} \mbox{e} 0 \leq m \leq 200 \) in quanto il numero più grande tra questi è \( y_{max} = 6000\)
per cui esistono \( 6000 \div 30 = 200\) intervalli multipli interi di A. Il numero totale di valori richiesti è quindi pari a 1600.