Testo
Un solido \(\Omega\) ha per base la regione R delimitata dal grafico di \(f(x) = e^{\frac{1}{x}}\) e
dall’ asse x sull’ intervallo [-2,-1]. In ogni punto di R di ascissa x, l’ altezza
del solido è data da \(h(x)=\frac{1}{x^2}\). Si calcoli il volume del solido.
Soluzione
Nell’intervallo [-2,-1] la funzione f è evidentemente continua in quanto composta da funzioni continue e risulta pure positiva essendo un esponenziale. Siccome il segno della sua derivata prima f’ è negativo, essa è anche monotona strettamente decrescente. Anche \(f”(x) < 0 \) nell'intervallo indicato. Un grafico approssimativo è rappresentato in fig. 1 dove si è evidenziata anche la regione R base del solido.
Il volume di questo solido si ottiene risolvendo l’integrale
\[
\mathcal{V}(\Omega)=\int_{-2}^{-1}\mathcal{A}(x)\mbox{d}x
\]
essendo \(\mathcal{A}(x)\) l’ area di una sua generica sezione perpendicolare all’ asse x. Pertanto se consideriamo un generico valore di \(x\in[-2, -1]\) come fissato, la sezione ha come base il segmento di estremi (x, 0) e (x,f(x)) e un’ altezza \(h(x) = \frac{1}{x^2}\) che è indipendente dalle ordinate y comprese tra 0 e f(x). La figura geometrica di una generica sezione è quindi un rettangolo per cui l’ area e, di conseguenza il volume risultano
\[
\mathcal{A}=(f(x)-0) \cdot h(x)= e^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2} \\
\]
\[
\mathcal{V}(\Omega)=\int_{-2}^{-1}e^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2}\mbox{d}x
\]
L’ integrale indefinito associato a quest’ ultimo si risolve con la sostituzione \(t=\frac{1}{x}\), per cui si ha
\[
\int e^t(-\mbox{d}t) = -\int e^t \mbox{d}t = -e^t + c = -e^{\frac{1}{x}}+c
\]
quindi
\[
\mathcal{V}(\Omega)= -e^{-1}+e^{-\frac{1}{2}} \approx 0,2387.
\]