Testo

Si spieghi perchè non esistono poliedri regolari le cui facce siano esagoni.

Soluzione

I poliedri regolari (detti pure solidi platonici) sono quei solidi che hanno per facce dei poligoni regolari tutti congruenti. Nel caso in esame le facce dovranno essere degli esagoni regolari che possiedono angoli di \(120^{\circ}\) ad ogni vertice. Per poter comunque generare un solido, in un suo vertice devono convergere almeno tre facce (e in tal modo formare un angoloide) e quindi si dovranno disporre almeno tre esagoni. D’altra parte in geometria solida, un importante teorema (peraltro intuitivo) stabilisce che la somma degli angoli di tutte le facce uscenti da uno stesso vertice debba essere minore dell’ angolo giro mentre la somma degli angoli di tre esagoni uscenti da un vertice comune risulta essere pari all’angolo giro. Si potranno quindi disporre gli esagoni in un piano (e difatti si può in tal modo ricoprire un piano con mattonelle esagonali) ma questi non potranno formare un angoloide e quindi un poliedro regolare.