testo
Venti palline sono poste in un’urna. Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche. Dall’urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline. Si valutino le seguenti probabilità:
– esattamente una pallina é rossa,
– le tre palline sono di colori differenti.
soluzione
Definiamo \(n_r,n_v,n_g\) e \(n_b\) rispettivamente il numero di palline rosse, verdi, gialle e bianche. Il numero totale di palline \(n=20.\) IL reimbussolamento modifica evidentemente \(n\) e quindi la probabilità di estrazione. Definiamo l’evento E=\{una sola pallina rossa dopo tre estrazioni\}.

L’evento può verificarsi alla prima estrazione ma deve essere seguito dall’estrazione di palline di diverso colore. Perciò
\[
E=E_1(r)\cap E_2(\overline{r}\cap E_3(\overline{r})).
\]
Questo può succedere anche nella seconda o terza estrazione. Dato che i 3 eventi sono incompatibili, per il teorema della probabilità totale si ha che
\[
p(E)=p(E_1)+p(E_2)+p(E_3).
\]
Ciascuno dei tre addendi, viene calcolato secono il teorema della probabilita composta come \(p(E_1)=p(E_1(r))\cdot p(E_2(\overline{r}))\cdot p(E_3(\overline{r}))\). I singoli fattori sono
\begin{align*}
p(E_1(r))&=\frac{n_r}{n}=\frac{5}{20}\\
p(E_2(\overline{r}))&=\frac{n_r}{n-1}=\frac{15}{19}\\
p(E_3(\overline{r}))&=\frac{n_r}{n-2}\frac{14}{18}\\
\end{align*}
quindi \(p(E_1)=\frac{35}{228}\).
Con lo stesso ragionamento si ottiene \(p(E_2)=p(E_3)=\frac{35}{228}\). Si ha perciò \( p(E)=\frac{35}{76}\approx 0,4605\).\\
Per calcolare che le palline estratte (in tre estrazioni) abbiano tutte colore diverso calcoliamo il numero di combinazioni di 4 colori a gruppi di tre
\[
C_{4,3}=\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}=4
\]
e quindi le terne accettabili sono RVG,RVB,VGB e RGB. Ciascuna terna però può presentarsi in un ordine diverso, ossia in \(3!=6\) permutazioni distinte. Ciasuna permutazione ha la stessa probabilità di presentarsi, come per esempio per RVG, uguale a
\[
p=\frac{n_r}{n}\cdot\frac{n_v}{n-1}\cdot\frac{n_g}{n-2}=\frac{5^3}{20\cdot19\cdot18}.
\]
Ciascuna successione di colori è incompatibile, quindi il teorema della probabilità totale permette di individuare la probabilità per ciascuna delle terne come
\[
p(RVG)=p(RVB)=p(VGB)=p(RGB)=3!\cdot p .
\]

Infine la probabilità cercata è
\[
p(E_{Rcol})=p(RVG)+p(RVB)+p(VGB)+p(RGB)=4\cdot p=\frac{25}{57}\approx 0,4386.
\]