Disequazioni fratte – Esercizi vari 1

Due disequazioni fratte:

Esercizio 1

$\frac{3}{x^2-5x+6}+\frac{4-x}{3-x}> \frac{6-x}{2-x}$

Scomponiamo il primo denominatore:

$\frac{3}{(x-2)(x-3)}+\frac{4-x}{3-x}> \frac{6-x}{2-x}$

Cambiamo segno agli altri 2 denominatori, e alle rispettive frazioni. Portiamo tutto al primo membro:

$\frac{3}{(x-2)(x-3)}-\frac{4-x}{x-3}+\frac{6-x}{x-2}> 0$

Comune denominatore:

$\frac{3-(4-x)(x-2)+(6-x)(x-3)}{(x-2)(x-3)}> 0$

Svolgiamo i calcoli:

$\frac{3-4x+8+x^2-2x+6x-18-x^2+3x}{(x-2)(x-3)}> 0$

$\frac{3x-7}{(x-2)(x-3)}> 0$

Ora poniamo il numeratore N>0 e i due fattori del denominatore D1>0 e D2>0

$N>0\rightarrow 3x-7>0\rightarrow x>\frac{7}{3}$

$D_1>0\rightarrow x-2>0\rightarrow x>2;D_2>0\rightarrow x-3>0\rightarrow x>3$

Dal grafico del segno (considerando che 7/3 è circa 2,3) otteniamo:

$2<x<\frac{7}{3}\vee x>3$

Esercizio 2

$\frac{x^2+1}{x^3+4x^2}+\frac{x+2}{x+4}\geq \frac{x-2}{x^2+4x}$

Scomponiamo i denominatori e portiamo tutto a sinistra:

$\frac{x^2+1}{x^2(x+4)}+\frac{x+2}{x+4}-\frac{x-2}{x(x+4)}\geq 0$

$\frac{x^2+1+x^2(x+2)-x(x-2)}{x^2(x+4)}\geq 0$

$\frac{x^2+1+x^3+2x^2-x^2+2x}{x^2(x+4)}\geq 0\rightarrow \frac{x^3+2x^2+2x+1}{x^2(x+4)}\geq 0$

Numeratore: primo e quarto somma di cubi, tra secondo e terzo raccolgo 2x:

$\frac{(x+1)(x^2+1-x)+2x(x+1)}{x^2(x+4)}\geq 0\rightarrow \frac{(x+1)(x^2+x+1)}{x^2(x+4)}\geq 0$

Poniamo numeratori e denominatori maggiori di zero:

$N_1\geq 0\rightarrow x+1\geq 0\rightarrow x\geq -1;N_2\geq 0\rightarrow x^2+x+1\geq 0\rightarrow \mathbb{R}$

$D_1>0\rightarrow x^2> 0\rightarrow x\neq 0;D_2>0\rightarrow x+4>0\rightarrow x>-4$

Dal grafico del segno otteniamo:

$x<-4\vee (x\geq -1\wedge x\neq 0)$

9 thoughts on “Disequazioni fratte – Esercizi vari 1”

Elisa De Benedetto ha detto:
29 Luglio 2016 alle 9:29
Buongiorno, nella prima disequazione, se cambio segno alla seconda e alla terza frazione, non devo cambiarlo anche alla prima? E di conseguenza cambia anche il verso? se cambio segno devo moltiplicare tutto per -1…
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Caty ha detto:
31 Agosto 2013 alle 11:14
Ciao Albert mi potresti aiutare a fare i calcoli di questa disequazione. è tutto il giorno che ci provo e non riesco. Grazie.
7x-2\ 3x -6 + 5x +4\ 4-2x più piccolo o minore -1
\ sta per fratto… più piccolo o minore sta per il segno che non riesco ad inserire.
Rispondi
Caty ha detto:
31 Agosto 2013 alle 11:13
Ciao Albert mi potresti aiutare a fare i calcoli di questa disequazione. è tutto il giorno che ci provo e non riesco. Grazie.
7x-2\ 3x -6 + 5x +4\ 4-2x più piccolo o minore -1
\ sta per fratto… più piccolo o minore sta per il segno che non riesco ad inserire.
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Anonimo ha detto:
17 Gennaio 2013 alle 23:04
ciao albert, ti vorrei fare una domanda che nn riguarda gli es di sopra: se io ho, radice di x-1 (tutto sotto radice) fratto x>1 …quanto viene? alla mia prof viene non esistono x appartenenti ad R, a me invece x>2 e x>1 perché?
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1. Albert ha detto:
  18 Gennaio 2013 alle 13:56
  ha ragione la tua prof:
  http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28sqrt%28x-1%29%29%2Fx+%3E1
  non so dove sbagli, dovrei vedere il procedimento che fai…
Anonimo ha detto:
23 Dicembre 2012 alle 11:41
ciao voevo chiederti: ma nel primo esercizio non dovrebbe essere x<2 e x>3 la soluzione?
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1. Albert ha detto:
  23 Dicembre 2012 alle 17:14
  Ciao, no, è giusto così come pubblicato:
  http://www.wolframalpha.com/input/?i=%283x-7%29%2F%28%28x-2%29%28x-3%29%29%3E0
Albert ha detto:
10 Maggio 2012 alle 21:41
Ciao Shadinho16,
grazie!
Ho raccolto i meno ai denominatori, e poi li ho portati davanti alle rispettive frazioni:
3/((x-2)(x-3)) + (4-x)/(3-x) – (6-x)/(2-x) > 0
3/((x-2)(x-3)) + (4-x)/(-(x-3)) – (6-x)/(-(x-2)) > 0
3/((x-2)(x-3)) – (4-x)/(x-3) + (6-x)/(x-2) > 0
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Shadinho16 ha detto:
10 Maggio 2012 alle 18:27
Grazie Mille bel sito cmq vorrei chiederti perchè nel primo esercizio
tra il secondo ed il terzo riquadro i denominatori cambiano rispettivamente da 3-x a x-3 e da 2-x a x-2.
è un tuo errore?
ciao
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