Determinare le coordinate dei punti comuni alle due curve aventi le equazioni \[ f\left(x\right)=3x^{2}+5x-1\;;\; g\left(x\right)=2x+5 \] e calcolare la misura dell’area della parte di piano limitata dagli archi delle due curve considerate, aventi per estremi i punti prima determinati.

Soluzione

Determiniamo i punti di intersezione delle due funzioni: \[ \left\{ \begin{array}{c} y=3x^{2}+5x-1\\ y=2x+5 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} 2x+5=3x^{2}+5x-1\\ y=2x+5 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x^{2}+x-2=0\\ y=2x+5 \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x_{1}=-2\\ y_{1}=+1 \end{array}\right.\rightarrow P_{1}\left(-2;1\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x_{2}=+1\\ y_{2}=+7 \end{array}\right.\rightarrow P_{2}\left(1;7\right) \] Ora, con estremi di integrazione \[ \left\{ \begin{array}{c} a=x_{1}=-2\\ b=x_{2}=+1 \end{array}\right. \] possiamo calcolare l’integrale definito \[ \int_{a}^{b}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx \] ovvero \[ \int_{-2}^{1}\left[\left(3x^{2}+5x-1\right)-\left(2x+5\right)\right]dx=\left[x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-6x\right]_{-2}^{1} \] \[ \int_{a}^{b}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=1+\frac{3}{2}-6+8-6-12=-\frac{27}{2} \] L’area cercata vale quindi \[ A=\left|-\frac{27}{2}\right|=\frac{27}{2} \]