Determinare le coordinate dei punti comuni alle due curve aventi le equazioni \[ 3x+2y-6=0\;;\; y=\frac{3}{x} \] e calcolare la misura dell’area della parte di piano limitata dagli archi delle due curve considerate, aventi per estremi i punti prima determinati.
Soluzione
Le due funzioni hanno equazione \[ f\left(x\right)=-\frac{3}{2}x+3\;;\; g\left(x\right)=\frac{3}{x} \] Determiniamo i punti di intersezione delle due funzioni: \[ \left\{ \begin{array}{c} 3x+2y-9=0\\ y=\frac{3}{x} \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} 3x+\frac{6}{x}-9=0\\ y=\frac{3}{x} \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x^{2}-3x+2=0\\ y=\frac{3}{x} \end{array}\right. \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x_{1}=1\\ y_{1}=3 \end{array}\right.\rightarrow P_{1}\left(1;3\right) \] \[ \left\{ \begin{array}{c} x_{2}=2\\ y_{2}=\frac{3}{2} \end{array}\right.\rightarrow P_{2}\left(2;\frac{3}{2}\right) \] Ora, con estremi di integrazione \[ \left\{ \begin{array}{c} a=x_{1}=1\\ b=x_{2}=2 \end{array}\right. \] possiamo calcolare l’integrale definito \[ \int_{a}^{b}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx \] ovvero \[ \int_{1}^{2}\left[\left(-\frac{3}{2}x+3\right)-\left(\frac{3}{x}\right)\right]dx=\left[-\frac{3}{4}x^{2}+3x-3\ln\left|x\right|\right]_{1}^{2} \] \[ \int_{a}^{b}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=-3+6-3\ln2+\frac{3}{4}-3=\frac{3}{4}-\ln8 \] L’area cercata vale quindi \[ A=\left|\frac{3}{4}-\ln8\right|=\frac{3}{4}-\ln8 \]
consiglio di rivedere l’esercizio dato che le curve non si intersecano e la funzione di partenza quella utilizzata per il calcolo delle intersezioni sono diverse. Buonagiornata
Salve, bisogna correggere il termine noto della retta nel testo e nel primo passaggio.
ti consiglio di rivedere l’esercizio poichè c’è qualche errore, per il resto tuttigli esercizi sono utili.
la prego di controllare il testo delle due funzioni poichè il testo da lei inserito è errato!
Hai fatto un sacco di casini in questo esercizio, senza offesa. Hai iniziato la descrizione dell’esercizio dicendo di calcolare l’area tra la retta y=-(3/2)x + 3; e la curva y=3/x. Queste due funzioni non si intersecano neanche. Inoltre nel sistema per trovare i punti di intersezione che in realtà non esistono hai messo y=3/x e y=-(3/2)x + 9/2. Hai praticamente sostituito la retta che non intersecava l’iperbole con una che la intersecava a x=2 e a x=1. Infine quando nell’integrale definito hai fatto la sottrazione tra la funzione superiore e quella inferiore hai fatto -(3/2)x +3 – 3/x, ovvero hai utilizzato la prima retta che hai detto, quella che non intersecava l’iperbole, cosa che ha dato chiaramente un risultato di area sbagliata. Io ho svolto l’esercizio utilizzando come retta quella che intersecava l’iperbole, e se non ho fatto errori l’area dovrebbe risultare A=9/4 – ln8. Non è mia intenzione criticarti, e non voglio mettere in dubbio le tue abilità ma in questo esercizio hai fatto parecchia confusione.
Io non ho capito gli ultimi due passaggi… cioè perchè viene -3/4 x^2 ?? non dovrebbe essere 3/2 x^2 ? Di conseguenza non mi trovo anche con il resto dei calcoli…
f(x) non dovrebbe essere (y= -3/2x +9/2) ??
Hai ragione! Ho fatto prima a modificare il testo… ora è tutto coerente