Determinare la misura dell’area della parte di piano delimitata dall’asse delle y e dalla parabola di equazione \[ x=y^{2}-4 \]
Soluzione
La parabola ad asse orizzontale interseca l’asse y nei punti \[ \left\{ \begin{array}{c} y_{1}=-2\\ y_{2}=+2 \end{array}\right. \] La funzione data ha come variabile indipendente la y. Di conseguenza per determinare l’area richiesta basterà calcolare l’integrale definito della funzione data, con estremi di integrazione \[ \left\{ \begin{array}{c} a=-2\\ b=+2 \end{array}\right. \] Risulta quindi \[ \int_{-2}^{2}\left(y^{2}-4\right)dy=\left[\frac{y^{3}}{3}-4y\right]_{-2}^{2} \] \[ \int_{-2}^{2}\left(y^{2}-4\right)dy=\frac{8}{3}-8+\frac{8}{3}-8 \] \[ \int_{-2}^{2}\left(y^{2}-4\right)dy=-\frac{32}{3} \] Otteniamo l’area: \[ A=\left|-\frac{32}{3}\right|=\frac{32}{3} \]
Ciao. Volevo chiederti se è corretto fare il valore assoluto del risultato finale, dato che l’integrale definito di per sè, se la funzione ha una parte del grafico al di sopra dell’asse delle x e una pare al di sotto, ci restituisce un numero che è la differenza tra queste due aree. Ti ringrazio