Calcolare le coordinate dei punti comuni all’iperbole \(xy=4\) e alla parabola \(y=\frac{1}{3}(x^2-13)\), quindi determinare l’area del triangolo avente per vertici i tre punti di intersezione delle due curve.
Risoluzione
Per trovare i punti comuni tra le due curve risolviamo il sistema
\[
\begin{cases}
xy=4 \\
y=\frac{1}{3}(x^2-13)
\end{cases}
\]
1. Calcolo dei punti di intersezione
Dalla prima equazione ricaviamo \(y=\frac{4}{x}\), con \(x\neq 0\). Sostituendo nella seconda otteniamo
\[
\frac{4}{x}=\frac{1}{3}(x^2-13).
\]
Moltiplicando entrambi i membri per \(3x\), si ha
\[
12=x(x^2-13),
\]
cioè
\[
x^3-13x-12=0.
\]
Si verifica subito che \(x=4\) è una radice del polinomio; quindi la scomposizione è
\[
x^3-13x-12=(x-4)(x^2+4x+3)=(x-4)(x+1)(x+3).
\]
Le soluzioni per \(x\) sono dunque
\[
x=4,\quad x=-1,\quad x=-3.
\]
Calcoliamo ora le corrispondenti ordinate usando \(y=\frac{4}{x}\):
- se \(x=4\), allora \(y=1\), quindi \(B(4,1)\);
- se \(x=-1\), allora \(y=-4\), quindi \(C(-1,-4)\);
- se \(x=-3\), allora \(y=-\frac{4}{3}\), quindi \(A(-3,-\frac{4}{3})\).
2. Calcolo dell’area del triangolo
Prendiamo come base il lato \(BC\). La sua lunghezza è
\[
BC=\sqrt{(4-(-1))^2+(1-(-4))^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}.
\]
La retta passante per \(B(4,1)\) e \(C(-1,-4)\) ha coefficiente angolare
\[
m=\frac{1-(-4)}{4-(-1)}=\frac{5}{5}=1,
\]
perciò la sua equazione è
\[
y-1=x-4,
\]
ossia
\[
x-y-3=0.
\]
L’altezza relativa alla base \(BC\) è la distanza del punto \(A(-3,-\frac{4}{3})\) dalla retta \(x-y-3=0\):
\[
h=\frac{\left|1\cdot(-3)+(-1)\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)-3\right|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{\left|-3+\frac{4}{3}-3\right|}{\sqrt{2}}=\frac{14}{3\sqrt{2}}.
\]
L’area del triangolo vale quindi
\[
\mathcal{A}=\frac{BC\cdot h}{2}=\frac{5\sqrt{2}\cdot \frac{14}{3\sqrt{2}}}{2}=\frac{35}{3}.
\]
In conclusione, i punti di intersezione sono \(A(-3,-\frac{4}{3})\), \(B(4,1)\) e \(C(-1,-4)\), e l’area del triangolo che essi determinano è \(\boxed{\frac{35}{3}}\).