Geometria analitica - Esercizio di riepilogo 3

Calcolare le coordinate dei punti comuni all’iperbole xy=4 e alla parabola $y=\frac{1}{3}\left ( x^2-13 \right )$ e determinare la misura dell’area del triangolo avente per vertici i punti di intersezione delle due curve.

Soluzione

Per trovare i punti di intesezione mettiamo a sistema iperbole e parabola:

$\left\{\begin{matrix} xy=4 \\ y=\frac{1}{3}\left ( x^2-13 \right ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} y=\frac{4}{x} \\ y=\frac{1}{3}\left ( x^2-13 \right ) \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} y=\frac{4}{x} \\ \frac{4}{x}=\frac{1}{3}\left ( x^2-13 \right ) \end{matrix}\right.$

Troviamo x sviluppando la seconda:

che si scompone prima con ruffini (c=-1):

$\begin{matrix} &1 &0 &-13 &-12 \\ -1 & &-1 &1 &12 \\ &1 & -1 & -12 &0 \end{matrix}$

$x^3-13x-12=0\rightarrow (x^2-x-12)(x+1)=0$

e poi con il trinomio speciale:

$x_{A}=-3\rightarrow y_{A}=-\frac{4}{3}\rightarrow A\left ( -3;-\frac{4}{3} \right )$

$x_{B}=4\rightarrow y_{B}=1\rightarrow B\left ( 4;1 )$

$x_{C}=-1\rightarrow y_{B}=-4\rightarrow C\left ( -1;-4 )$

Calcoliamo la distanza BC:

$BC=\sqrt{\left ( x_{B}-x_{C} \right )^2+(y_{B}-y_{C})^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

e la retta BC:

$\frac{x-x_B}{x_C-x_B}=\frac{y-y_B}{y_C-y_B}\rightarrow x-y-3=0$

L’altezza del triangolo rispetto alla base BC sarà la distanza del punto A dalla retta BC:

$AH=d=\frac{\left | ax_A+by_A+c \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left | -3+\frac{4}{3}-3 \right |}{\sqrt{1+1}}=\frac{14}{3\sqrt{2}}$

L’area del triangolo sarà uguale a:

$A=\frac{BC\cdot AH}{2}=5\sqrt{2}\cdot \left ( \frac{14}{3\sqrt{2}} \right )\cdot \frac{1}{2}\rightarrow A=\frac{35}{3}$

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