Calcolare i seguenti integrali definiti:
Esercizio 1 \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx \] Soluzione
Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{\cos^{2}x}dx+\int\frac{1}{\sin^{2}x}dx \] \[ F\left(x\right)=\tan x-co\tan x+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=F\left(\frac{\pi}{3}\right)-F\left(\frac{\pi}{6}\right) \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\left(\tan\frac{\pi}{3}-co\tan\frac{\pi}{3}+C\right)-\left(\tan\frac{\pi}{6}-co\tan\frac{\pi}{6}+C\right) \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3} \] \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=-\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{1}{\sin^{2}x}\right)dx=\frac{4\sqrt{3}}{3} \] Esercizio 2 \[ \int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx \] Soluzione
Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\ln\left(e^{x}+2\right)+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=F\left(1\right)-F\left(0\right) \] \[ \int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\left[\ln\left(e^{1}+2\right)+C\right]-\left[\ln\left(e^{0}+2\right)+C\right] \] \[ \int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\ln\left(e+2\right)-\ln3 \] Quindi otteniamo: \[ \int_{0}^{1}\frac{e^{x}}{e^{x}+2}dx=\ln\frac{e+2}{3} \] Esercizio 3 \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cos xdx \] Soluzione
Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\sin^{2}x\cos xdx=\frac{\sin^{3}x}{3}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cos xdx=F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\left(0\right) \] \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cos xdx=\left(\frac{\sin^{3}\frac{\pi}{2}}{3}+C\right)-\left(\frac{\sin^{3}0}{3}+C\right) \] Quindi otteniamo: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}x\cos xdx=\frac{1}{3} \]
Salve Albert.
Innanzitutto complimenti per questa magnifica pagina.
Volevo porvi la seguente domanda:
Nell’esercizio Nr. 3, nella risoluzione dell’integrale indefinito, compare il grado 2 al seno. Non bisogna considerare come derivata di sen^2(x)= 2cos(x) e procedere per parti?
Vi ringrazio anticipatamente per la risposta.
Ciao Albert, mi spiegheresti gentilmente come hai calcolato l’integrale indefinito nel secondo esercizio? Mille grazie, Silvia.
Quando ci si trova ad integrare una frazione può prenderne essere appicata una regoletta molto comoda: se il nominatore è la derivata del denominatore allora la primitiva del tutto è il logaritmo naturale (ln) del denominatore.
In questo caso la derivata del denominatore (e^x + 2) è proprio (e^x + 0)=e^x perció la primitiva del tutto è semplicemente ln(e^x + 2)
ciao puoi spiegarmi come viene √3−√3/3-√3/3+√3? la cotangente di pigreco terzi non è 1/radical3??
si , infatti √3/3=1/√3
Ciao Albert potresti spiegatmi i passaggi per calcolare l’integtale indefinito di sin^2xcosx del terzo esercizio? Grazie anticipatamente
Si: integri direttamente (senx)^2 come una potenza ottenendo (senx)^3 /3. Questo lo puoi fare perchè dentro l’integrale hai cosx (derivata della funzione interna senx) che moltiplica appunto la potenza (senx)^2
ma non dovrebbe essere negativo il coseno?
ciao albert, nel primo esercizio come fa tangente pigreco/3 ad uscire radice3?? ke procedimento si usa?? così anke per cotangente pigreco/3?? come fa ad uscire radice3/3?? aiutamiii grazie mille ottimo sito
pi/3=60° : la sua tangente è rad3 e la sua cotangente è (rad3)/3 … sono valori “da tabella”