Calcolare i seguenti integrali definiti:
Esercizio 1 \[ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx \] Soluzione
Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx \] \[ F\left(x\right)=\int\frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}dx \] \[ \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+2} \] \[ \frac{1}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}=\frac{\left(A+B\right)x+2A+3B}{\left(x+3\right)\left(x+2\right)} \] \[ \left\{ \begin{array}{c} A+B=0\\ 2A+3B=1 \end{array}\right.\rightarrow\left\{ \begin{array}{c} A=-1\\ B=+1 \end{array}\right. \] \[ F\left(x\right)=-\int\frac{1}{x+3}dx+\int\frac{1}{x+2}dx \] \[ F\left(x\right)=\ln\left|\frac{x+2}{x+3}\right|+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx=F\left(0\right)-F\left(-1\right) \] \[ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx=\left(\ln\left|\frac{0+2}{0+3}\right|+C\right)-\left(\ln\left|\frac{-1+2}{-1+3}\right|+C\right) \] \[ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx=\ln\frac{2}{3}-\ln\frac{1}{2} \] Quindi otteniamo: \[ \int_{-1}^{0}\frac{1}{x^{2}+5x+6}dx=\ln\frac{4}{3} \] Esercizio 2 \[ \int_{3}^{4}\frac{x-4}{x^{2}-3x+2}dx \] Soluzione
Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{x-4}{x^{2}-3x+2}dx \] \[ F\left(x\right)=\frac{1}{2}\int\frac{2x-8}{x^{2}-3x+2}dx \] \[ F\left(x\right)=\frac{1}{2}\int\frac{2x-3-5}{x^{2}-3x+2}dx \] \[ F\left(x\right)=\frac{1}{2}\int\frac{2x-3}{x^{2}-3x+2}dx-\frac{5}{2}\int\frac{1}{x^{2}-3x+2}dx \] \[ F\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-3x+2\right)+\frac{5}{2}\int\frac{1}{x-1}dx-\frac{5}{2}\int\frac{1}{x-2}dx \] \[ F\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}-3x+2\right)+\frac{5}{2}\ln\left(x-1\right)-\frac{5}{2}\ln\left(x-2\right)+C \] \[ F\left(x\right)=\ln\left(x-1\right)^{\frac{1}{2}}\left(x-2\right)^{\frac{1}{2}}+\ln\frac{\left(x-1\right)^{\frac{5}{2}}}{\left(x-2\right)^{\frac{5}{2}}}+C \] \[ F\left(x\right)=\ln\frac{\left(x-1\right)^{3}}{\left(x-2\right)^{2}}+C \] \[ F\left(x\right)=3\ln\left(x-1\right)-2\ln\left(x-2\right)+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{3}^{4}\frac{x-4}{x^{2}-3x+2}dx=F\left(4\right)-F\left(3\right) \] \[ \int_{3}^{4}\frac{x-4}{x^{2}-3x+2}dx=3\ln\left(4-1\right)-2\ln\left(4-2\right)-3\ln\left(3-1\right)+2\ln\left(3-2\right) \] Quindi otteniamo: \[ \int_{3}^{4}\frac{x-4}{x^{2}-3x+2}dx=3\ln3-5\ln2 \] Esercizio 3 \[ \int_{2}^{3}\frac{3x+2}{x^{2}-5x+4}dx \] Soluzione
Calcoliamo l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\frac{3x+2}{x^{2}-5x+4}dx \] \[ F\left(x\right)=3\int\frac{x+\frac{2}{3}}{x^{2}-5x+4}dx \] \[ F\left(x\right)=\frac{3}{2}\int\frac{2x+\frac{4}{3}}{x^{2}-5x+4}dx \] \[ F\left(x\right)=\frac{3}{2}\int\frac{2x-5+\frac{19}{3}}{x^{2}-5x+4}dx \] \[ F\left(x\right)=\frac{3}{2}\int\frac{2x-5}{x^{2}-5x+4}dx+\frac{19}{2}\int\frac{1}{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}dx \] \[ F\left(x\right)=\frac{3}{2}\ln\left|x^{2}-5x+4\right|+\frac{19}{6}\int\frac{1}{x-4}dx-\frac{19}{6}\int\frac{1}{x-1}dx \] \[ F\left(x\right)=\frac{3}{2}\ln\left|x^{2}-5x+4\right|+\frac{19}{6}\ln\left|\frac{x-4}{x-1}\right|+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{2}^{3}\frac{3x+2}{x^{2}-5x+4}dx=F\left(3\right)-F\left(2\right) \] \[ \int_{2}^{3}\frac{3x+2}{x^{2}-5x+4}dx=\frac{3}{2}\ln\left|3^{2}-15+4\right|+\frac{19}{6}\ln\left|\frac{3-4}{3-1}\right|-\frac{3}{2}\ln\left|2^{2}-10+4\right|-\frac{19}{6}\ln\left|\frac{2-4}{2-1}\right| \] \[ \int_{2}^{3}\frac{3x+2}{x^{2}-5x+4}dx=\frac{3}{2}\ln2-\frac{19}{6}\ln2-\frac{3}{2}\ln2-\frac{19}{6}\ln2 \] Quindi otteniamo: \[ \int_{2}^{3}\frac{3x+2}{x^{2}-5x+4}dx=-\frac{19}{3}\ln2 \]
Ciao Albert, non capisco come riesci ad ottenere quel 1/2 nell’esercizio due davanti alla funzione integranda.
al primo esercizio la differenza tra ln2/3 – ln1/3 perchè fa ln4/3
Perchè NON è (2/3)-(1/2)
MA è ln(2/3) – ln(1/2) che per proprietà dei logaritmi è equivalente a [ln(2/3)]/[ln(1/2)] da cui puoi raccogliere ln facendolo diventare ln[(2/3)/(1/2)] e a questo punto lavori solo sulle frazioni cioè (2/3)/(1/2) = 2/3 * 2(/1) = 4/3
Quindi ln(4/3)
Ciao,e complimenti per il sito :)
Mi potresti spiegare,nel 3° passaggio dell’ultimo esercizio,i calcoli che hai fatto per ottenere al numeratore (2x – 5 + 19/3) per favore?
Ciao albert, non capisco perchè nel primo esercizio quando imposti il sistema A+B= 0 e 2A+3B=1, dai i valori 0 e 1. Da dove li ricavi? Grazie mille e complimenti per il sito!!! Mi sta aiutando moltissimo!!
Perché parti da una funzione che ha a denominatore uno, quindi non ci sono x e ne deduci che A e B devono annullarsi. Invece è presente 1, quindi ciò che hai ottenuto con A e B (2A + 3B) dev’essere pari a 1
Ciao Albert. Nell’esercizio tre mi spieghi perché nel passaggio alla formula fondamentale ti viene:
3/2 ln2 – 19/6 ln2 – 3/2 ln2 – 19/6 ln2
posso sapere il motivo per il quale nell’ultimo esercizio 19/2 diventa 19/6? grazie
perchè 1/(x-4)-1/(x-1) = 3/((x-4)(x-1)) quindi moltiplico per 3 dentro per ottenere 1/(x-4)-1/(x-1),
e pre 1/3 fuori… ammetto che era più semplice ragionare con A e B fin dall’inizio
complimenti per il sito ,ma nell’esercizio due moltiplichi e dividi l’integrale per uno stesso numero? se si in base a cosa decidi per quale numero farlo?
Lo faccio per ottenere, dentro l’integrale, al numeratore la derivata del denominatore
Ciao, potresti spiegarmi perchè 1/(x+3)(x+2) è uguale ad A e B? e poi perchè nlla differenza di logaritmi mettiamo x+2/x+3 e non il contrario? grazie in anticipo =)
– perchè questa è la tecnica da per risolverli…
– guarda i segni davanti agli integrali (davanti al primo c’è – e davanti al secondo +)
Ciao albert potresti spiegarmi nel primo esercizio il passaggio ad (A+B)x+2A+3B?Grazie
e anche il penultimo passaggio, non capisco il meno prima dell’integrale
– ho fatto il comune denominatore a destra, e poi raccolto la x al numeratore
– A=-1: ho tenuto dentro 1 e portato fuori il meno