Calcolare i seguenti integrali definiti:

Esercizio 1 \[ \int_{0}^{1}\arcsin xdx \] Soluzione

Calcoliamo per parti l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\arcsin xdx \] \[ f\left(x\right)=\arcsin x\rightarrow f’\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \] \[ g’\left(x\right)=1\rightarrow g\left(x\right)=x \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x+\frac{1}{2}\int-2x\left(1-x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}dx \] \[ F\left(x\right)=x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{0}^{1}\arcsin xdx=F\left(1\right)-F\left(0\right) \] \[ \int_{0}^{1}\arcsin xdx=1\cdot\arcsin1+\sqrt{1-1^{2}}-0\cdot\arcsin0-\sqrt{1-0^{2}} \] \[ \int_{0}^{1}\arcsin xdx=\frac{\pi}{2}-1 \] Quindi otteniamo: \[ \int_{0}^{1}\arcsin xdx=\frac{\pi-2}{2} \] Esercizio 2 \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx \] Soluzione

Calcoliamo per parti l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int x\sin xdx \] \[ f\left(x\right)=x\rightarrow f’\left(x\right)=1 \] \[ g’\left(x\right)=\sin x\rightarrow g\left(x\right)=-\cos x \] \[ F\left(x\right)=-x\cos x+\int\cos xdx \] \[ F\left(x\right)=-x\cos x+\sin x+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx=F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\left(0\right) \] \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx=-\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}+\sin\frac{\pi}{2}+0\cdot\cos0-\sin0 \] \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx=0+1+0-0 \] Quindi otteniamo: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\sin xdx=1 \] Esercizio 3 \[ \int_{2}^{3}\ln xdx \] Soluzione

Calcoliamo per parti l’integrale indefinito \[ F\left(x\right)=\int\ln xdx \] \[ f\left(x\right)=\ln x\rightarrow f’\left(x\right)=\frac{1}{x} \] \[ g’\left(x\right)=1\rightarrow g\left(x\right)=x \] \[ F\left(x\right)=x\ln x-\int\frac{x}{x}dx \] \[ F\left(x\right)=x\ln x-\int dx \] \[ F\left(x\right)=x\ln x-x+C \] Utilizziamo ora la formula fondamentale del calcolo integrale: \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right) \] ovvero \[ \int_{2}^{3}\ln xdx=F\left(3\right)-F\left(2\right) \] \[ \int_{2}^{3}\ln xdx=3\ln3-3-2\ln2+2 \] \[ \int_{2}^{3}\ln xdx=\ln3^{3}-\ln2^{2}-1 \] Quindi otteniamo: \[ \int_{2}^{3}\ln xdx=\ln\frac{27}{4}-1 \]