Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo:
Esercizio 1 \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx \] Soluzione
Visto che -seno è la derivata del coseno, si può ricondurlo ad un integrale immediato: \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=\int\sin x\left(\cos x\right)^{-4}dx \] \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=-\int-\sin x\left(\cos x\right)^{-4}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=-\left(-\frac{1}{3}\cos^{-3}x\right)+C \] \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{4}x}dx=\frac{1}{3\cos^{3}x}+C \] Esercizio 2 \[ \int x\sqrt[5]{x^{2}+1}dx \] Soluzione
Possiamo ricavarci, fuori dal radicale, la derivata della funzione interna: \[ \int x\sqrt[5]{x^{2}+1}dx=\int x\left(x^{2}+1\right)^{\frac{1}{5}}dx \] \[ \int x\sqrt[5]{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\int2x\left(x^{2}+1\right)^{\frac{1}{5}}dx \] e otteniamo: \[ \int x\sqrt[5]{x^{2}+1}dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{6}\left(x^{2}+1\right)^{\frac{6}{5}}+C \] \[ \int x\sqrt[5]{x^{2}+1}dx=\frac{5}{12}\sqrt[5]{\left(x^{2}+1\right)^{6}}+C \] Esercizio 3 \[ \int\tan^{2}xdx \] Soluzione
Scrivendo la tangente come rapporto tra seno e coseno, otteniamo una somma di integrali immediati: \[ \int\tan^{2}xdx=\int\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}dx \] \[ \int\tan^{2}xdx=\int\frac{1-\cos^{2}x}{\cos^{2}x}dx \] \[ \int\tan^{2}xdx=\int\frac{1}{\cos^{2}x}dx-\int\frac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x}dx \] \[ \int\tan^{2}xdx=\int\frac{1}{\cos^{2}x}dx-\int dx \] e otteniamo: \[ \int\tan^{2}xdx=\tan x-x+C \]
Buongiorno
ho solo una domanda per quanto riguarda il secondo esercizio ( x per radice quinta di x alla seconda più 1 dx):
In realtà non ho capito quali sono stati i passaggi in dettaglio partendo dalla parola “otteniamo” , dov’è finita la 2x e da dove è stato trovato l’esponente 6/5
Un altra cosa: volevo ringraziarvi di cuore per avere creato un sito del genere che offre la cosa più importante che serve ad uno studente universitario che sono gli esercizi svolti….grz tante meritate il Nobel :)
allora devi fare in modo da ottenere all interno dell integrale la derivata di x^2+1 che sarebbe 2x ; per cui moltiplichi e dividi per 2 fatto ciò ti basta risolvere (x^2+1)^1/5 come se fosse un normale integrale di x^n = (x^n+1)/n+1 se fai 1/5+1 esce 6/5 e ti trovi spero di essere stato chiaro ;)
Buongiorno,
volevo chiedere che formula ha usato nel secondo esercizio. Cioè non dovrebbe essere la derivata di tutto F(x)? come mai basta solo la derivata dell’argomento?
Grazie mille
La formula è sempre la stessa:
quando hai
int f'(x)*g(f(x)) dx
ti basta integrare g rispetto a f(x).