Calcolare i seguenti integrali indefiniti di vario tipo:

Esercizio 1 \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx \] Soluzione

Possiamo ricondurre questo integrale ad una somma di integrali immediati: \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=\int\frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}dx+3\int\frac{x}{x^{2}+1}dx \] \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=\int dx+3\cdot\frac{1}{2}\int\frac{2x}{x^{2}+1}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+1}dx=x+\frac{3}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C \] Esercizio 2 \[ \int\frac{\sqrt[5]{\tan^{2}x}}{\cos^{2}x}dx \] Soluzione

Visto che \[ \frac{1}{\cos^{2}x} \] è la derivata della tangente, possiamo ricondurlo ad un integrale immediato: \[ \int\frac{\sqrt[5]{\tan^{2}x}}{\cos^{2}x}dx=\int\frac{1}{\cos^{2}x}\cdot\left(\tan x\right)^{\frac{2}{5}}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{\sqrt[5]{\tan^{2}x}}{\cos^{2}x}dx=\frac{5}{7}\cdot\left(\tan x\right)^{\frac{7}{5}}+C \] \[ \int\frac{\sqrt[5]{\tan^{2}x}}{\cos^{2}x}dx=\frac{5\sqrt[5]{\tan^{7}x}}{7}+C \] Esercizio 3 \[ \int\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x^{2}}}dx \] Soluzione

Possiamo ricondurre questo integrale ad una somma di integrali immediati: \[ \int\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x^{2}}}dx=3\int\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}}dx+\int\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}dx \] \[ \int\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x^{2}}}dx=3\int x^{-\frac{1}{6}}dx+\int x^{-\frac{2}{3}}dx \] e otteniamo: \[ \int\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x^{2}}}dx=3\cdot\frac{6}{5}x^{\frac{5}{6}}+3x^{\frac{1}{3}}+C \] \[ \int\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x^{2}}}dx=3\sqrt[3]{x}\left(\frac{6}{5}\sqrt{x}+1\right)+C \]